Gli insiemi uguali
Due insiemi A e B sono insiemi uguali se soddisfano la doppia inclusione A⊆B∧B⊆A In questo caso si scrive A=B
Spiegato in modo più semplice, due insiemi A e B sono uguali se A contiene B e B contiene A.
Entrambi gli insiemi sono sottoinsiemi impropri dell'altro.
Nota. Ogni insieme ha come sottoinsieme improprio se stesso. È un po' come dire che ognuno è il migliore amico di se stesso. E' tecnicamente vero ...ma non aggiunge molto alla conversazione dal punto di vista sociale.
Dimostrazione
Secondo la prima inclusione tutti gli elementi dell'insieme A appartengono all'insieme B.
A⊆B
Quindi non esistono elementi di A non contenuti anche in B.
Secondo la seconda inclusione tutti gli elementi dell'insieme B appartengono all'insieme A.
B⊆A
Pertanto, non esistono elementi di B non contenuti anche in A.
Se non esistono elementi di B non contenuti in A ed elementi di A non contenuti in B, è evidente che i due insiemi sono uguali.
A=B⇔A⊆B∧B⊆A
In alternativa, posso anche scrivere che due insiemi sono uguali quando tutti gli elementi di A appartengono anche a B e viceversa. A=B⇔(x∈A⇔x∈B)
Esempio
Ho due insiemi
A={0,1,2,3,4}
B={x∈N | 2x+1<10}
Al secondo insieme B appartengono tutti i numeri naturali che soddisfano la condizione 2x+1<10.
2x+1<10
x<92
ossia i numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4
A={0,1,2,3,4}
B={0,1,2,3,4}
Come si può notare valgono entrambe le condizioni di inclusione
A⊆B
B⊆A
Quindi i due insiemi sono uguali.
A=B
Osservazioni
Alcune osservazioni e note a margine sugli insiemi uguali:
- Due insiemi uguali hanno la stessa cardinalità
Può sembrare ovvio ma a volte è utile ricordarlo. Due insiemi uguali A=B hanno gli stessi elementi, quindi hanno anche lo stesso numero di elementi ovvero hanno la stessa cardinalità. |A|=|B|
E così via.
