Gli insiemi uguali

Due insiemi A e B sono insiemi uguali se soddisfano la doppia inclusione $$ A \subseteq B \\ B \subseteq A $$ In questo caso si scrive $$ A = B $$

Spiegato in modo più semplice, due insiemi A e B sono uguali se A contiene B e B contiene A.

Entrambi gli insiemi sono sottoinsiemi impropri dell'altro.

Dimostrazione

Secondo la prima inclusione tutti gli elementi dell'insieme A appartengono all'insieme B.

$$ A \subseteq B $$

Quindi non esistono elementi di A non contenuti anche in B.

Secondo la seconda inclusione tutti gli elementi dell'insieme B appartengono all'insieme A.

$$ B \subseteq A $$

Pertanto, non esistono elementi di B non contenuti anche in A.

Se non esistono elementi di B non contenuti in A ed elementi di A non contenuti in B, è evidente che i due insiemi sono uguali.

Esempio

Ho due insiemi

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ x \in N \ | \ 2x + 1 < 10 \} $$

Al secondo insieme B appartengono tutti i numeri naturali che soddisfano la condizione 2x+1<10.

$$ 2x+1<10 $$

$$ x < \frac{9}{2} $$

ossia i numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

Come si può notare valgono entrambe le condizioni di inclusione

$$ A \subseteq B $$

$$ B \subseteq A $$

Quindi i due insiemi sono uguali.

$$ A=B $$

E così via.