La partizione di un insieme
- Una partizione P(A) di un insieme A è un insieme di sottoinsiemi di A tale che
- nessun sottoinsieme è un insieme vuoto
- l'unione dei sottoinsiemi è uguale all'inseme A
- i sottoinsiemi sono insiemi disgiunti tra loro, ossia non hanno elementi in comune
La partizione di un insieme in due sottoinsiemi è detta bipartizione.
La partizione in tre sottoinsiemi è detta tripartizione.
Una generica partizione in k sottoinsiemi è detta k-partizione.
Nota. Non esiste un'unica partizione dell'insieme. Un insieme di k elementi può essere suddivido in k! fattoriale partizioni.
Un esempio pratico
Considero l'insieme finito A composto da 5 elementi
$$ A = \{ 1,2,3,4,5 \} $$
Una partizione dell'insieme è la seguente bipartizione
$$ P(A) = \{ \ \{ 1,2,3 \} \ , \ \{ 4,5 \} \ \} $$
Utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn la bipartizione si rappresenta in questo modo:
Verifica. La partizione è composta da due sottoinsiemi {1,2,3} e {4,5} non vuoti. I due sottoinsiemi sono disgiunti $$ \{ 1,2,3 \} \cap \{4,5 \} = Ø $$ L'unione dei sottoinsiemi della partizione è uguale all'insieme A $$ \{ 1,2,3 \} \cup \{4,5 \} = \{ 1,2,3,4,5 \} = A $$
L'insieme è composto da 5 elementi. Quindi, esistono 5!=120 partizioni possibili.
Ad esempio, un'altra partizione è la seguente. Anch'essa è una bipartizione.
$$ P(A) = \{ \ \{ 1,2 \} \ , \ \{ 3,4,5 \} \ \} $$
Un'altra partizione è la seguente tripartizione
$$ P(A) = \{ \ \{ 1,2 \} \ , \ \{ 3,4 \} \ , \ \{ 5 \} \ \} $$
Questa è invece una 4-partizione perché l'insieme è suddiviso in 4 sottoinsiemi
$$ P(A) = \{ \ \{ 1,2 \} \ , \ \{ 3 \} \ , \ \{ 4 \} \ , \ \{ 5 \} \ \} $$
Complessivamente ci sono 120 combinazioni possibili degli elementi (partizioni) dell'insieme A.
Osservazioni
Alcune osservazioni sulle partizioni
- La partizione banale
Ogni insieme X ha una partizione banale uguale all'insieme stesso $$ P(A) = \{ A \} $$Esempio. Considero l'insieme $$ A = \{ 1,2,3,4,5 \} $$ la partizione banale dell'insieme A è la seguente $$ P(A) = \{ \ \{ 1,2,3,4,5 \} \ \} $$
- La partizione di singleton
Ogni insieme X ha una partizione composta da sottoinsiemi con un unico elemento (singleton o singoletti) $$ P(A) = \{ \{ a_1 \} , \{ a_2 \} , ... \} $$Esempio. Considero l'insieme $$ A = \{ 1,2,3,4,5 \} $$ la partizione di singleton dell'insieme A è la seguente $$ P(A) = \{ \ \{ 1 \} \ , \{ 2 \} \ , \{ 3 \} \ , \{ 4 \} \ , \{ 5 \} \ \} $$
E così via.
