Multiinsieme

Un multiinsieme estende l'idea di un insieme ordinario permettendo la ripetizione degli elementi.

I multiinsiemi sono utilizzati per gestire quelle collezioni di oggetti dove la ripetizione è significativa.

Si distingue da un insieme tradizionale dove ogni elemento è unico e non si ripete.

Nota. I multiinsiemi sono particolarmente utili in combinatoria e teoria dei gruppi, dove spesso si devono contare configurazioni che includono ripetizioni.

Dal punto di vista formale un multiinsieme è rappresentato da una coppia \( M = (A, m) \), dove:

  •  \( A \) è un insieme di elementi detto "insieme supporto".
  •  \( m: A \rightarrow \mathbb{N} \) è una funzione detta "funzione molteplicità" che assegna a ogni elemento dell'insieme supporto un numero naturale positivo indicante quante volte quell'elemento appare nel multiinsieme. La funzione molteplicità, \( m \) determina la struttura del multiinsieme.

    Nota. Nel caso particolare in cui \( m \) assume solamente il valore 1 per ogni elemento, allora il multiinsieme corrisponde esattamente al suo insieme supporto e si comporta come un insieme tradizionale.

La cardinalità di un multiinsieme è la somma delle molteplicità di tutti gli elementi e indica il numero totale di elementi nel multiinsieme, incluse le loro ripetizioni.

Quindi, posso rappresentare un multiinsieme anche come insieme di coppie ordinate

$$ M = \{ (x,m(x)): x \in A \} $$

Dove x è un elemento dell'insieme di supporto mentre m(x) è la cardinalità dell'elemento.

    Un esempio pratico

    Considero il multiinsieme degli elementi \{a, a, b, b, b, c \}

    Posso descriverlo formalmente come \( M = (A, m) \), dove:

    • \( A = \{a, b, c\} \) è l'insieme di supporto
    • \( m(a) = 2 \), \( m(b) = 3 \), \( m(c) = 1 \) è la funzione di molteplicità

    La cardinalità del multiinsieme M posso ottenerla sommando le cardinalità degli elementi

    $$ |M| = m(a)+m(b)+m(c) = 2+3+1 = 6 $$

    In effetti l'insieme A è composto da sei elementi.

    In questo esempio, l'insieme delle coppie ordinate è il seguente:

    $$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$

    Esempio 2

    Considero il numero 360. La sua fattorizzazione in fattori primi è

    $$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

    Posso rappresentare questa fattorizzazione come un multiinsieme dei fattori primi di 360 nel modo seguente:

    $$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$

    La prima coppia ordinata dice che l'elemento \(2\) è presente \(3\) volte, la seconda coppia che \(3\) è presente \(2\) volte e, infine, la terza coppia che \(5\) è presente \(1\) volta.

    Questa rappresentazione chiarisce esattamente come ogni numero primo contribuisce alla composizione fattoriale di 360, utilizzando il concetto di multiinsieme per catturare le molteplicità di ciascun fattore.

    Esempio 3

    Considero il polinomio:

    $$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$

    Questo polinomio ha 2 radici ripetute tre volte e una radice che si presenta una volta.

    Questo mi permette di scrivere questo polinomio in questa forma.

    $$ (x-2)^3 \cdot (x-1) $$

    Le radici del polinomio possono essere rappresentate come un elementi di multiinsieme:

    $$ M = \ \{(2, 3), (1, 1)\} $$

    In questo caso:

    • la prima coppia indica che la radice 2 appare 3 volte
    • la seconda coppia, invece, dice che la radice 1 appare 1 volta

    In altre parole, gli elementi del multiinsieme rappresentano le radici multiple del polinomio. 

    E così via.

     

     


     

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