Multiinsieme
Un multiinsieme estende l'idea di un insieme ordinario permettendo la ripetizione degli elementi.
I multiinsiemi sono utilizzati per gestire quelle collezioni di oggetti dove la ripetizione è significativa.
Si distingue da un insieme tradizionale dove ogni elemento è unico e non si ripete.
Nota. I multiinsiemi sono particolarmente utili in combinatoria e teoria dei gruppi, dove spesso si devono contare configurazioni che includono ripetizioni.
Dal punto di vista formale un multiinsieme è rappresentato da una coppia \( M = (A, m) \), dove:
- \( A \) è un insieme di elementi detto "insieme supporto".
- \( m: A \rightarrow \mathbb{N} \) è una funzione detta "funzione molteplicità" che assegna a ogni elemento dell'insieme supporto un numero naturale positivo indicante quante volte quell'elemento appare nel multiinsieme. La funzione molteplicità, \( m \) determina la struttura del multiinsieme.
Nota. Nel caso particolare in cui \( m \) assume solamente il valore 1 per ogni elemento, allora il multiinsieme corrisponde esattamente al suo insieme supporto e si comporta come un insieme tradizionale.
La cardinalità di un multiinsieme è la somma delle molteplicità di tutti gli elementi e indica il numero totale di elementi nel multiinsieme, incluse le loro ripetizioni.
Quindi, posso rappresentare un multiinsieme anche come insieme di coppie ordinate
$$ M = \{ (x,m(x)): x \in A \} $$
Dove x è un elemento dell'insieme di supporto mentre m(x) è la cardinalità dell'elemento.
Un esempio pratico
Considero il multiinsieme degli elementi \{a, a, b, b, b, c \}
Posso descriverlo formalmente come \( M = (A, m) \), dove:
- \( A = \{a, b, c\} \) è l'insieme di supporto
- \( m(a) = 2 \), \( m(b) = 3 \), \( m(c) = 1 \) è la funzione di molteplicità
La cardinalità del multiinsieme M posso ottenerla sommando le cardinalità degli elementi
$$ |M| = m(a)+m(b)+m(c) = 2+3+1 = 6 $$
In effetti l'insieme A è composto da sei elementi.
In questo esempio, l'insieme delle coppie ordinate è il seguente:
$$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$
Esempio 2
Considero il numero 360. La sua fattorizzazione in fattori primi è
$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$
Posso rappresentare questa fattorizzazione come un multiinsieme dei fattori primi di 360 nel modo seguente:
$$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$
La prima coppia ordinata dice che l'elemento \(2\) è presente \(3\) volte, la seconda coppia che \(3\) è presente \(2\) volte e, infine, la terza coppia che \(5\) è presente \(1\) volta.
Questa rappresentazione chiarisce esattamente come ogni numero primo contribuisce alla composizione fattoriale di 360, utilizzando il concetto di multiinsieme per catturare le molteplicità di ciascun fattore.
Esempio 3
Considero il polinomio:
$$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$
Questo polinomio ha 2 radici ripetute tre volte e una radice che si presenta una volta.
Questo mi permette di scrivere questo polinomio in questa forma.
$$ (x-2)^3 \cdot (x-1) $$
Le radici del polinomio possono essere rappresentate come un elementi di multiinsieme:
$$ M = \ \{(2, 3), (1, 1)\} $$
In questo caso:
- la prima coppia indica che la radice 2 appare 3 volte
- la seconda coppia, invece, dice che la radice 1 appare 1 volta
In altre parole, gli elementi del multiinsieme rappresentano le radici multiple del polinomio.
E così via.