La differenza simmetrica tra insiemi
La differenza simmetrica tra due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi, ma non a entrambi. $$ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$
Questa operazione mi permette di identificare gli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi considerati, escludendo quelli comuni.
Formalmente, si esprime come:
$$ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$
Dove:
- A\B è l'insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B
- B\A è l'insieme degli elementi che appartengono a B ma non ad A
In altre parole, la differenza simmetrica è l'unione delle differenze relative tra i due insiemi.
E' particolarmente utile per identificare elementi unici tra due insiemi.
Nei diagrammi di Eulero-Venn la differenza simmetrica tra insiemi è rappresentata dalle aree non sovrapposte tra i due cerchi che rappresentano gli insiemi.
Un esempio pratico
Consideriamo due insiemi A e B.
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{2, 3, 4\} $$
La differenza simmetrica \(A \Delta B\) sarà composta dagli elementi che appartengono a A ma non a B, uniti agli elementi che appartengono a B ma non a A:
$$ A \setminus B = \{1\} $$
$$ B \setminus A = \{4\} $$
Quindi, la differenza simmetrica tra A e B è l'insieme {1, 4}.
$$ A \Delta B = \{1\} \cup \{4\} = \{1, 4\} $$
Dal punto di vista dei diagrammi di Venn
Esempio 2
Considero un altro esempio:
$$ A = \{a, b, c\} $$
$$ B = \{c, d, e\} $$
Calcolo la differenza simmetrica \(A \Delta B\):
$$ A \setminus B = \{a, b\} $$
$$ B \setminus A = \{d, e\} $$
Quindi, la differenza simmetrica tra A e B è l'insieme {a, b, d, e}.
$$ A \Delta B = \{a, b\} \cup \{d, e\} = \{a, b, d, e\} $$
Questa è la rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn
Le proprietà della differenza simmetrica
La differenza simmetrica gode di diverse proprietà interessanti:
- Commutatività
L'ordine degli insiemi non altera il risultato. \[ A \Delta B = B \Delta A \] - Associatività
Permette di raggruppare gli insiemi in modo diverso senza cambiare il risultato. \[ A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C \] - Identità
La differenza simmetrica di un insieme con l'insieme vuoto è l'insieme stesso. \[ A \Delta \emptyset = A \] - Complementarità
La differenza simmetrica di un insieme con se stesso è l'insieme vuoto. \[ A \Delta A = \emptyset \]
E così via.