Differenza tra appartenenza e inclusione nella teoria degli insiemi

La distinzione tra appartenenza e inclusione è uno dei concetti fondamentali nella teoria degli insiemi, sono concetti distinti tra loro ma spesso fraintesi.

• Appartenenza
  L'appartenenza è indicata dal simbolo ∈ e si riferisce alla relazione tra un elemento singolo e un insieme. Quando un elemento x appartiene a un insieme S, si scrive x ∈ S. È un modo per confermare che x è uno degli elementi all'interno di S.

  Ad esempio, se S è l'insieme {1, 2, 3}, dire 2 ∈ S è corretto, perché 2 è uno degli elementi di S. Quindi l'elemento 2 appartiene all'insieme S.

• Inclusione
  L'inclusione è indicata dai simboli ⊂ e ⊆, si riferisce alla relazione tra due insiemi. Dire che un insieme A è incluso in un insieme B (A ⊂ B) significa che tutti gli elementi di A sono anche elementi di B. Se scrivo A ⊆ B, sto dicendo che A può essere esattamente uguale a B oppure un sottoinsieme proprio di B.

  Ad esempio, se S è l'insieme {1, 2, 3}, dire {2} ⊂ S è corretto perché l'insieme {2} è contenuto in S e non è uguale all'intero insieme S. Quindi, l'insieme {2} è incluso nell'insieme S. Se invece volessi essere meno rigoroso e includere anche l'uguaglianza, dovrei scrivere {1, 2, 3} ⊆ S, che è anche corretto.

Quindi, la relazione di appartenenza ci dice se qualcosa è un membro di un insieme, la relazione di inclusione ci dice se un intero insieme è parte di un altro insieme.

In altre parole, il simbolo ∈ collega un elemento e un insieme (appartenenza), mentre i simboli ⊂ e ⊆ collegano due insiemi (inclusione).

Ad esempio, 3 ∈ S e {3} ⊂ S sono affermazioni corrette, mentre 3 ⊂ S e {3} ∈ S sono scorrette.

E così via.