Le operazioni sugli insiemi
Le operazioni con gli insiemi sono l'unione, l'intersezione e la differenza.
Per spiegare le definizioni delle operazioni sugli insiemi, in questa pagina utilizzerò soprattutto i diagrammi di Venn perché rendono più facile comprendere il significato delle operazioni. Nella rappresentazione grafica i concetti sono molto semplici rispetto alla notazione matematica.
L'unione
Dati due insiemi A e B, l'unione di A e B è l'insieme composto da tutti gli elementi appartenenti all'insieme A o all'insieme B, oppure a entrambi.
Il simbolo dell'unione è ∪.
Gli eventuali elementi presenti in entrambi gli insiemi vanno considerati una sola volta nell'insieme unione.
Unione di più insiemi. Per scrivere l'unione di una famiglia di insiemi, posso scrivere $$ \bigcup_{i \in I} = \{ x \in A_i \:\: \text{per qualche}\:\: i \in I \} $$
Come calcolare l'unione tra due insiemi
In questo esempio pratico calcolo l'unione tra due insiemi A e B.
Spiegazione. L'insieme A è composto dagli elementi { 2, 5, 6, 7, 8 } mentre l'insieme B dagli elementi { 1, 3, 4, 6, 7, 9 }. L'insieme unione è composto dagli elementi di entrambi gli insiemi { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Gli elementi presenti in entrambi gli insiemi {6, 7} sono considerati una sola volta nell'insieme unione.
L'intersezione
Dati due insiemi A e B, l'intersezione di A e B è l'insieme composto da tutti gli elementi comuni appartenenti all'insieme A e all'insieme B.
Il simbolo dell'intersezione è ⋂.
Due insiemi A e B sono detti insiemi disgiunti quando l'intersezione A⋂B è un insieme vuoto.
Intersezione di più insiemi. Per scrivere l'intersezione tra una famiglia di insiemi, posso scrivere $$ \bigcap_{i \in I} = \{ x \in A_i \:\: \forall i \in I \} $$
Come calcolare l'intersezione tra due insiemi
In questo esempio pratico calcolo l'intersezione tra due insiemi A e B.
Spiegazione. Gli elementi { 6, 7 } appartengono sia all'insieme A e sia all'insieme B. Per questa ragione, l'insieme intersezione A⋂B è composto dagli elementi { 6, 7 }.
La differenza tra insiemi
Dati due insiemi A e B, la differenza A-B è un insieme composto dagli elementi dell'insieme A che non appartengono anche all'insieme B.
L'insieme della differenza A-B è anche detto complemento di B rispetto ad A.
Nota. L'insieme differenza A-B è anche detto complemento relativo di un insieme A in un insieme B. Comprende tutti gli elementi di A che non appartengono anche ad B. Spesso si indica con $$ A\B =\{ x \in A | x \notin B \} $$
Come calcolare la differenza tra due insiemi
In questo esempio pratico calcolo la differenza tra l'insieme A e B.
Spiegazione. L'insieme A è composto dagli elementi {2, 5, 6, 7, 8}. Gli elementi { 6, 7 } appartengono sia all'insieme A e sia all'insieme B. Quindi, vanno tolti dall'insieme complemento A-B {2, 5, 6, 7, 8}. Per questa ragione l'insieme complemento A-B è composto soltanto dagli elementi {2, 5, 8}.
Le proprietà delle operazioni sugli insiemi
Le operazioni sugli insiemi rispettano le seguenti proprietà: commutativa, associativa, distributiva, Leggi di De Morgan.
