Il sottoinsieme

Un insieme A è detto sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche un elemento di B.
un esempio di sottoinsieme
La precedente rappresentazione grafica degli insiemi è detta diagramma di Venn.

Detto in parole più semplici, il sottoinsieme A è contenuto nell'insieme B.

Questa relazione è detta di inclusione.

Per indicare la relazione di inclusione normale si utilizza il simbolo ⊆.

Si legge "l'insieme A è contenuto nell'insieme B".

il simbolo dell'inclusione normale dei sottoinsiemi

Altri modi per leggere la precedente notazione sono "A è sottoinsieme di B" oppure "A è incluso in B".

La relazione di inclusione può anche essere scritta nel seguente modo:

la formulazione estesa del sottoinsieme

Nota. La relazione di inclusione comprende anche il caso in cui A e B siano due insiemi uguali, ossia abbiano gli stessi elementi e nessun elemento diverso. In effetti, il simbolo è l'unione del simbolo dell'inclusione (⊂) e dal simbolo uguale (=).

Il sottoinsieme proprio

Si parla di sottoinsieme proprio quando il sottoinsieme A è contenuto nell'insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è contenuto in A.

Detto in parole più semplici, i due insiemi sono diversi A≠B.

l'insieme A è un sottoinsieme proprio di B

In questo caso si parla di relazione di inclusione stretta.

E' un caso particolare di inclusione, indicato con il simbolo ⊂.

Si dice che "l'insieme A è parte propria dell'insieme B".

il simbolo dell'inclusione stretta

In alternativa, posso dire che "l'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B".

Esempio

L'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B

$$ A = \{ 1,3,4 \} $$

$$ B = \{ 1,3,4,2,6,7 \} $$

Perché ogni elemento dell'insieme A è anche elemento di B ma esistono elementi di B che non sono elementi di A.

$$ A ⊂ B $$

Qual è la differenza tra inclusione normale e inclusione stretta? Nell'inclusione stretta (A⊂B) i due insiemi A e B sono sempre diversi (A≠B). Nell'inclusione normale (A⊆B) invece i due insiemi possono anche essere uguali (A=B). Pertanto, se è vera l'inclusione stretta (A⊂B) allora è vera anche l'inclusione normale (A⊆B). $$ A⊂B \Longrightarrow A⊆B $$ Viceversa, se è vera l'inclusione normale (A⊆B) non è detto che sia vera anche l'inclusione stretta (A⊂B), perché i due insiemi potrebbero anche essere uguali (A=B).

Il sottoinsieme improprio

    Qualsiasi insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri:

  • un insieme identico a se stesso
  • l'insieme vuoto

A] L'insieme identico a se stesso

Quando due insiemi sono uguali (A=B) ogni insieme è sottoinsieme dell'altro.

un esempio di sottoinsieme improprio

Perché A contiene ogni elemento di B e B contiene ogni elemento di A.

In questo caso, si dice che:

  • A è sottoinsieme improprio di B
  • B è sottoinsieme improprio di A

Questa particolare relazione di coimplicazione implica l'uguaglianza tra gli insiemi

la relazione di uguaglianza

Pertanto, quando due insiemi sono uguali allora sono anche sottoinsiemi impropri l'uno dell'altro.

Esempio

L'insieme A è incluso nell'insieme B e viceversa

$$ A = \{ 1,3,4 \} $$

$$ B = \{ 1,3,4 \} $$

Perché ogni elemento dell'insieme A è anche elemento di B e ogni elemento dell'insieme B è anche elemento di A.

Pertanto i due insiemi sono uguali (A=B).

B] L'insieme vuoto

L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di qualsiasi altro insieme.

esempio di insieme vuoto

Un insieme è detto insieme vuoto se non ha elementi.

Si indica con il simbolo Ø. $$ Ø = \{ \ \ \} $$

Nota. Il fatto che l'insieme vuoto sia considerato un sottoinsieme di tutti gli altri insiemi è un po' difficile da capire inizialmente ma si può dimostrare ( vedi dimostrazione ).

Esempio

Considero l'insieme vuoto e un insieme A qualsiasi.

$$ Ø = \{ \ \ \} $$

$$ A = \{ 1,3,4 \} $$

Anche l'insieme vuoto Ø è strettamente incluso nell'insieme A

$$ Ø ⊂ A $$

Perché non posso affermare il contrario.

Dimostrazione. La dimostrazione si ottiene per assurdo affermando l'ipotesi contraria. Se l'insieme vuoto NON fosse un sottoinsieme di A allora dovrebbe esistere almeno un elemento dell'insieme vuoto che non appartiene all'insieme A. Tuttavia, questo è impossibile perché l'insieme vuoto non ha elementi. Pertanto, se l'affermazione "l'insieme vuoto non è un sottoinsieme di A" è falsa allora è vera l'affermazione contraria "l'insieme vuoto è un sottoinsieme di A". Dimostrazione alternativa. L'unione di un insieme A con un suo sottoinsieme B⊆A è sempre uguale all'insieme stesso. $$ A \cup B = A $$ Lo stesso accade tra l'unione di un insieme con un insieme vuoto $$ A \cup Ø = \{ 1,3,4 \} \cup \{ \ \ \} = \{ 1,3,4 \} = A $$

Il singleton

Cos'è il singleton?

Il singleton è un sottoinsieme che contiene un solo elemento.

Esempio

Il sottoinsieme B è un singleton perché è un sottoinsieme ( B⊂A ) e contiene un solo elemento.

$$ A = \{ 1, 2, 3, 4, 5\} $$

$$ B = \{ 2 \} $$

La differenza tra inclusione e appartenenza

Le relazioni di inclusione e appartenenza non vanno confuse tra loro.

  • La relazione di inclusione ⊆ si usa solo tra insiemi. Si può usare per dire che l'insieme A è un sottoinsieme di B. $$ A \subseteq B $$
  • La relazione di appartenenza ∈ si usa solo tra gli elementi e un insieme. Si usa per affermare che uno o più elementi a,b appartengono all'insieme A. $$ a \in A $$

Nota. Lo stesso discorso vale per la relazione di non inclusione e di non appartenenza (∉). $$ a \notin A \\ A \nsubseteq B $$

 


 

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