Massimo
Cos'è il valore massimo
Il massimo M di un insieme A è un elemento di A maggiore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme A $$ \begin{cases} M \in A \\ \\ M \ge a \:\:\ \forall \:\: a \in A \end{cases} $$ Il valore massimo è spesso indicato come $$ M=max(A) $$
Un elemento può essere il massimo di un insieme solo se appartiene all'insieme stesso.
Se non appartiene all'insieme è detto maggiorante.
Un insieme può essere senza massimo? Si, un insieme potrebbe anche non avere un valore massimo. Non tutti gli insiemi hanno un valore massimo. Ad esempio, l'insieme dei numeri reali R non ha un valore massimo perché il suo campo di definizione è (-∞,+∞). Il simbolo +∞ non è un valore massimo.
Un esempio pratico
L'insieme A è composto da 7 elementi
$$ A = \{ -1, 0, 4, 2, 6, 1, 3 \} $$
Il valore massimo dell'insieme A è 6
$$ max(A) = 6 $$
perché è maggiore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme
$$ 6 \ge -1 \\ 6 \ge 0 \\ 6 \ge 4 \\ 6 \ge 2 \\ 6 \ge 6 \\ 6 \ge 1 \\ 6 \ge 3 $$
Unicità del valore massimo
Se un insieme ammette un valore massimo, il valore massimo è unico.
Quindi, non possono esistere due o più massimi di un insieme.
Può invece verificarsi il caso di un insieme senza massimo.
Nota. E' opportuno ricordare che un insieme non può avere elementi duplicati al suo interno. Quindi, se esiste un elemento massimo nell'insieme, questo elemento è unico.
Dimostrazione
Per assurdo ipotizzo che un insieme abbia due valori massimi
$$ M_1 \ge a \:\: \forall a \in A $$
$$ M_2 \ge a \:\: \forall a \in A $$
Essendo dei massimi, entrambi i valori sono elementi dell'insieme A.
$$ M_1, M_2 \in A $$
Poiché ognuno dei due è maggiore uguale a tutti gli elementi dell'insieme, M1 e M2 sono in relazione d'ordine reciproca
$$ M_1 \ge M_2 $$
$$ M_2 \ge M_1 $$
Unendo le due relazioni d'ordine ottengo una relazione di uguaglianza
$$ ( M_1 \ge M_2 ) ∧ ( M_2 \ge M_1 ) \Leftrightarrow M_1=M_2 $$
Pertanto, i due massimi coincidono e hanno lo stesso valore M1 = M2.
Questo dimostra l'unicità del valore massimo di un insieme.
E così via.
