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La distanza tra insiemi

La distanza tra due insiemi A e B in uno spazio metrico (X,d) è definita come la minima distanza possibile tra un punto di A e un punto di B. d(A,B)=inf{d(a,b)aA , bB dove d(a,b) è la distanza tra due punti a e b secondo la metrica d, e inf (estremo inferioro) rappresenta il più piccolo valore tra tutte queste distanze.

Per trovare la distanza tra due insiemi, prendo ogni possibile coppia di punti, uno in A e uno in B, e calcolo la distanza tra ciascuna coppia.

La distanza tra i due insiemi è il valore più piccolo tra tutte queste distanze.

Nota. La distanza tra insiemi misura quanto sono vicini i punti di due insiemi, ma non garantisce che gli insiemi siano uguali o che si tocchino.

Il caso della distanza uguale a zero.

La distanza uguale a zero d(A,B)=0 significa che esistono punti in A e B arbitrariamente vicini, ma non implica necessariamente che A e B si tocchino o abbiano punti in comune.

Quindi, la distanza può essere 0 anche se gli insiemi sono disgiunti AB=.

    Un esempio pratico

    Considero due insiemi A e B in uno spazio metrico composto da tutti i punti della retta e la distanza d=|x1-x2|

    Poi considero tre casi distinti:

    A] Caso 1

    Se A={0} e B=[1,2] la loro distanza sulla linea retta è uguale a 1.

    d(A,B)=inf{d(a,b)aA,bB}=d(0,1)=1

    In questo caso il punto 0 di A è a distanza 1 dal punto più vicino di B, ovvero 1.

    esempio

    B] Caso 2

    Se A=[0,1] e B=[1,2] la loro distanza è zero.

    d(A,B)=inf{d(a,b)aA,bB}=d(1,1)=0

    In questo caso, A e B "toccano" il punto 1, quindi la distanza è 0.

    esempio

    I due insiemi non sono disgiunti perché la loro intersezione non è vuota.

    AB={1}

    C] Caso 3

    Se A=(0,1) e B=(1,2) la loro distanza è zero.

    d(A,B)=inf{d(a,b)aA,bB}.

    In questo caso i due insiemi sono disgiunti perché sono intervalli aperti e il punto 1 non appartiene né ad A, né a B... ma la distanza è sempre nulla.

    AB=

    Questo accade perché per minimizzare la distanza, devo avvicinare a a 1 (l'estremo destro di A) e b a 1 (l'estremo sinistro di B).

    esempio

    Il punto a in A può avvicinarsi arbitrariamente a 1 ma non raggiungerlo, perché A è aperto.

    Allo stesso modo, il punto b in B può avvicinarsi arbitrariamente a 1 ma non raggiungerlo, perché B è aperto.

    Quindi, la distanza tra A e B è:

    d(A,B)=inf{|ab|aA,bB}=|11|=0

    In conclusione, anche se A e B non si toccano (non hanno punti in comune), esistono punti in A e B arbitrariamente vicini tra loro.

    Per questo motivo, la distanza tra A e B è 0.

    Nota. Anche se la distanza tra due insiemi è 0, non significa che i due insiemi siano uguali o che si tocchino. Questo perché la distanza considera punti sempre più vicini, ma non richiede che ci sia un contatto.

    E così via.

     

     


     

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