La distanza tra insiemi
La distanza tra due insiemi A e B in uno spazio metrico (X,d) è definita come la minima distanza possibile tra un punto di A e un punto di B. d(A,B)=inf{d(a,b)∣a∈A , b∈B dove d(a,b) è la distanza tra due punti a e b secondo la metrica d, e inf (estremo inferioro) rappresenta il più piccolo valore tra tutte queste distanze.
Per trovare la distanza tra due insiemi, prendo ogni possibile coppia di punti, uno in A e uno in B, e calcolo la distanza tra ciascuna coppia.
La distanza tra i due insiemi è il valore più piccolo tra tutte queste distanze.
Nota. La distanza tra insiemi misura quanto sono vicini i punti di due insiemi, ma non garantisce che gli insiemi siano uguali o che si tocchino.
Il caso della distanza uguale a zero.
La distanza uguale a zero d(A,B)=0 significa che esistono punti in A e B arbitrariamente vicini, ma non implica necessariamente che A e B si tocchino o abbiano punti in comune.
Quindi, la distanza può essere 0 anche se gli insiemi sono disgiunti A∩B=∅.
Un esempio pratico
Considero due insiemi A e B in uno spazio metrico composto da tutti i punti della retta e la distanza d=|x1-x2|
Poi considero tre casi distinti:
A] Caso 1
Se A={0} e B=[1,2] la loro distanza sulla linea retta è uguale a 1.
d(A,B)=inf{d(a,b)∣a∈A,b∈B}=d(0,1)=1
In questo caso il punto 0 di A è a distanza 1 dal punto più vicino di B, ovvero 1.
B] Caso 2
Se A=[0,1] e B=[1,2] la loro distanza è zero.
d(A,B)=inf{d(a,b)∣a∈A,b∈B}=d(1,1)=0
In questo caso, A e B "toccano" il punto 1, quindi la distanza è 0.
I due insiemi non sono disgiunti perché la loro intersezione non è vuota.
A∩B={1}
C] Caso 3
Se A=(0,1) e B=(1,2) la loro distanza è zero.
d(A,B)=inf{d(a,b)∣a∈A,b∈B}.
In questo caso i due insiemi sono disgiunti perché sono intervalli aperti e il punto 1 non appartiene né ad A, né a B... ma la distanza è sempre nulla.
A∩B=∅
Questo accade perché per minimizzare la distanza, devo avvicinare a a 1 (l'estremo destro di A) e b a 1 (l'estremo sinistro di B).
Il punto a in A può avvicinarsi arbitrariamente a 1 ma non raggiungerlo, perché A è aperto.
Allo stesso modo, il punto b in B può avvicinarsi arbitrariamente a 1 ma non raggiungerlo, perché B è aperto.
Quindi, la distanza tra A e B è:
d(A,B)=inf{|a−b|∣a∈A,b∈B}=|1−1|=0
In conclusione, anche se A e B non si toccano (non hanno punti in comune), esistono punti in A e B arbitrariamente vicini tra loro.
Per questo motivo, la distanza tra A e B è 0.
Nota. Anche se la distanza tra due insiemi è 0, non significa che i due insiemi siano uguali o che si tocchino. Questo perché la distanza considera punti sempre più vicini, ma non richiede che ci sia un contatto.
E così via.