Insieme connesso

Un insieme aperto $ A $ è connesso se non può essere suddiviso in due sottoinsiemi aperti, disgiunti (cioè che non si sovrappongono) $ A_1 \cap A_2 = \emptyset $ e non vuoti $ A_1 \neq \emptyset $ e $ A_2 \neq \emptyset $, la cui unione sia l'intero insieme $ A_1 \cup A_2 = A $.

Matematicamente, questo si esprime dicendo che non esistono due insiemi aperti $ A_1 $ e $ A_2 $ tali che:

$ A_1 $ e $ A_2 $ non sono vuoti: $ A_1 \neq \emptyset $ e $ A_2 \neq \emptyset $
$ A_1 $ e $ A_2 $ non si sovrappongono: $$ A_1 \cap A_2 = \emptyset $$
La loro unione è tutto l'insieme $ A $: $$ A_1 \cup A_2 = A $$

Se almeno una di queste condizioni non è soddisfatta, allora l'insieme $ A $ non è connesso.

Un esempio pratico
Definizione alternativa di insieme connesso

Un esempio pratico

Esempio 1: Insieme connesso

Un esempio pratico di insieme connesso è un intervallo aperto sulla retta reale, come $ A = (0, 1) $.

Questo intervallo è connesso perché non è possibile dividerlo in due sottoinsiemi aperti disgiunti e non vuoti la cui unione sia ancora $ (0, 1) $.

Ad esempio, se provassi a dividere $ (0, 1) $ in due sottoinsiemi aperti disgiunti e non vuoti, come $ (0, a) $ e $ (b, 1) $, dove $ 0 < a < b < 1 $, l'unione di questi due insiemi non coprirebbe l'intero intervallo $ (0, 1) $ perché mancherebbe l'intervallo $ (a, b) $, il che significa che non rispetta la condizione $ A_1 \cup A_2 = A $.

Quindi, l'insieme $ A = (0, 1) $ è un insieme connesso.

Esempio 2: Insieme non connesso

Un esempio di insieme non connesso è l'unione di due intervalli separati, come $ A = (0, 0.4) \cup (0.6, 1) $.

Questo insieme non è connesso perché posso dividerlo chiaramente in due sottoinsiemi aperti disgiunti e non vuoti $ (0, 0.4) $ e $ (0.6, 1) $, la cui unione è ancora l'insieme iniziale.

Gli insiemi $ (0, 0.4) $ e $ (0.6, 1) $ sono già aperti, disgiunti e non vuoti. L'unione di questi due insiemi è esattamente l'insieme dato, cioè $ (0, 0.4) \cup (0.6, 1) $. Quindi, l'insieme $ A = (0, 0.4) \cup (0.6, 1) $ non è connesso.

Definizione alternativa di insieme connesso

Un insieme $ A $ è connesso se, per qualsiasi coppia di insiemi aperti $ A_1 $ e $ A_2 $ tali che:

$ A_1 \cap A_2 = \emptyset $ (cioè, $ A_1 $ e $ A_2 $ sono disgiunti)
$ A_1 \cup A_2 = A $ (cioè, l'unione di $ A_1 $ e $ A_2 $ è l'intero insieme $ A $)

allora uno dei due insiemi deve essere vuoto.

Se esistessero due insiemi aperti disgiunti che insieme coprono tutto $ A $, uno di questi deve necessariamente essere vuoto.

Questo perché, se entrambi gli insiemi fossero non vuoti, allora $ A $ potrebbe essere "spezzato" in due parti separate, il che contraddirebbe la definizione di insieme connesso.

E così via.