Minoranti e maggioranti
Cosa sono i maggioranti e i minoranti
Dato un insieme A e un sottoinsieme B⊆A
- un elemento k ∈ A è detto minorante del sottoinsieme B se è minore o uguale a ogni elemento del sottoinsieme B.
Esempio. Dato l'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e il sottoinsieme B = { 3, 4 }. I minoranti di B sono { 1, 2, 3 }
- un elemento k ∈ A è detto maggiorante del sottoinsieme B se è maggiore o uguale a ogni elemento del sottoinsieme B.
Esempio. Dato l'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e il sottoinsieme B = { 3, 4 }. I maggioranti di B sono { 4, 5, 6 }
Quanti minoranti o maggioranti può avere un insieme?
Un insieme può avere uno o più maggioranti o minoranti, oppure non averne affatto.
Alcuni esempi pratici
Alcuni insiemi hanno i minoranti ma non i maggioranti.
Sono detti insiemi limitati inferiormente.
Esempio di insieme senza maggioranti. L'insieme dei numeri reali positivi R+ è un insieme infinito composto dai numeri reali nell'intervallo (0,+∞). E' un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. L'insieme R+ ha dei minoranti (lo zero e tutti i numeri reali negativi) anche se nessun minorante appartiene a R+. Ad esempio lo zero non appartiene a R+. Tra lo zero e un qualsiasi numero reale positivo esistono infiniti numeri reali. Inoltre, l'insieme R+ non ha maggioranti perché è illimitato superiormente a +∞.
Altri insiemi hanno i maggioranti ma non i minoranti.
Sono detti insiemi limitati superiormente.
Esempio di insieme senza minoranti. L'insieme dei numeri reali negativi R- è un insieme infinito composto dai numeri reali nell'intervallo (-∞,0). E' un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. L'insieme R- ha dei maggioranti (lo zero e tutti i numeri reali positivi) anche se nessun maggiorante appartiene a R-. Ad esempio lo zero non appartiene a R-. Tra lo zero e un qualsiasi numero reale negativo esistono infiniti altri numeri reali. Inoltre, l'insieme R- non ha minoranti perché è illimitato inferiormente a -∞.
Poi ci sono gli insiemi con minoranti e maggioranti.
Sono insiemi limitati sia inferiormente che superiormente e sono detti insiemi limitati.
Esempio di insieme con minoranti e maggioranti. L'insieme dei numeri reali compresi tra -1 e +1 è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. Ha infiniti minoranti nell'intervallo (-∞, -1) e infiniti maggioranti nell'intervallo (1,+∞).
Infine, ci sono casi di insiemi senza maggioranti e minoranti.
Esempio di insieme senza minoranti e maggioranti. L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni altro insieme dell'universo e non ha maggioranti, né minoranti. Inoltre, qualsiasi insieme illimitato inferiormente e superiormente è sottoinsieme improprio di se stesso (es. l'insieme dei numeri reali R è un sottoinsieme improprio di R). Anche in questo caso non ci sono maggioranti, né minoranti.
E così via.