Le classi nella teoria degli insiemi

Una classe è una collezione di oggetti che soddisfano una determinata proprietà.

La teoria degli insiemi ha introdotto il concetto di "classe" per estendere e precisare le nozioni di insieme.

La definizione di "classe" risolve alcuni paradossi e complessità incontrati nella teoria degli insiemi classica, in particolare quando si tratta di collezioni troppo grandi per essere considerate insiemi nel senso standard.

Questo permette di preservare la coerenza e l'integrità della matematica come disciplina.

Esempio. L'insieme degli insiemi è un insieme oppure no? Se si, allora contiene se stesso. Se non è un insieme allora cos'é? Questo problema è noto come paradosso di Russell. Alcuni matematici hanno risolto il problema parlando di "insieme universo". Altri matematici, invece, lo hanno risolto introducendo il concetto di "classe".

Il paradosso di Russell

Nella teoria degli insiemi, un "insieme" è una collezione di elementi definiti che può essere chiaramente distinta e manipolata matematicamente.

Questa definizione generale funziona molto bene per gli insiemi finiti e per gran parte degli insiemi numerici infiniti.

Tuttavia, alcuni concetti matematici richiedono di considerare collezioni così vaste che non possono essere raccolti in un singolo insieme senza incorrere in contraddizioni logiche, come illustrato dal paradosso di Russell.

Ad esempio, la collezione di "tutti gli insiemi" non può essere un insieme, altrimenti ci si potrebbe chiedere se tale collezione si contiene se stesso come membro, cadendo in contraddizione.

Quindi, le classi entrano in gioco come un modo per raggruppare oggetti che soddisfano una certa proprietà senza necessariamente considerarli un insieme.

In questo modo si può parlare della classe di tutti gli insiemi che non si contengono come membri, o della classe di tutti i gruppi abeliani e per tutte le collezioni che non possono essere considerati degli insiemi a causa della loro vastità.

Pertanto, l'uso delle classi ci permette di trattare collezioni estese senza rischiare contraddizioni.

La differenza tra insiemi e classi

In generale, ogni un insieme è una classe ma una classe non è detto che sia anche un insieme.

Sia le classi che gli insiemi sono entrambi considerati collezioni in teoria degli insiemi, ma sono utilizzati in modi diversi a seconda delle loro caratteristiche e limitazioni.

• Insiemi
  Gli insiemi sono collezioni definite di oggetti, noti come elementi, che soddisfano una specifica proprietà o condizione.  Possono essere membri di altre collezioni, cioè altri insiemi. Inoltre, non possono contenere elementi ripetuti.
• Classi
  Le classi sono anch'esse collezioni di oggetti che soddisfano una particolare proprietà o condizione ma sono concepite in modo più generale. Come gli insiemi non possono contenere elementi ripetuti. Tuttavia, una classe può essere definita anche da regole che contraddicono la teoria degli insiemi (come la classe di tutti gli insiemi). Pertanto, alcune classi sono insiemi mentre altre classi non lo sono. Le classi che non possono essere insiemi sono dette "classi proprie".  Inoltre, le classi non possono essere elementi di altre classi. Servono per trattare concetti troppo ampi per essere contenuti in un insieme, come l'universo di tutti gli insiemi.

La differenza rispetto alle collezioni. Come già detto gli insiemi e le classi sono entrambe delle collezioni. Tuttavia, bisogna ricordarsi che il concetto di "collezione" è ancora più ampio perché una collezione può ospitare anche elementi ripetuti. Viceversa, sia le classi che gli insiemi non possono contenere elementi ripetuti al loro interno. Quindi, non tutte le collezioni sono classi o insiemi.

Tipi di classi

Una distinzione cruciale nella teoria degli insiemi è quella tra insiemi e classi proprie.

Le classi di dividono in due tipologie:

• Insiemi
  Un insieme è una classe che può essere membro di un'altra classe.

  Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali (N) è un insieme perché può essere considerato un membro di altre classi più ampie, come l'insieme dei numeri interi (Z) o dei numeri reali (R). $$ N \subset Z \subset R $$

• Classi proprie
  Una classe che non può essere membro di un'altra classe è chiamata una "classe propria".

  Ad esempio, la classe di tutti gli insiemi è una classe propria perché non può essere considerata un insieme, evitando così il paradosso di Russell.

La distinzione tra classi e insiemi è fondamentale per evitare errori in teoremi e dimostrazioni, soprattutto in campi come la teoria degli insiemi, la logica matematica e le fondazioni della matematica.

E così via.