Differenza tra insieme aperto e chiuso

I concetti di insieme aperto e insieme chiuso sono fondamentali per comprendere la struttura degli spazi topologici. In generale, la differenza consiste nell'inclusione o meno dei confini dell'insieme all'interno dell'insieme stesso.

Un insieme chiuso include i suoi confini al suo interno mentre un insieme aperto non li include.

In altre parole, i confini di un insieme chiuso sono elementi dell'insieme stesso mentre quelli di un insieme aperto non lo sono.

Ecco una spiegazione generale di entrambi i concetti:

• Insieme aperto

  Un insieme aperto è un insieme che non include i suoi "bordi" o "confini".

  Più formalmente, un insieme \(A\) in uno spazio topologico \(X\) si dice aperto se, per ogni punto \(x\) in \(A\), esiste un intorno di \(x\) completamente contenuto in \(A\). Questo significa che, attorno a ogni punto dell'insieme, si può trovare una "regione" interamente compresa nell'insieme, senza dover "sfiorare" il confine esterno dell'insieme.
  

  Esempio. Un modo semplice per spiegare l'insieme aperto consiste nell'immaginare un insieme di numeri reali compresi tra due estremi, ad esempio 3 e 10. L'intervallo aperto (3,10) è composto da infiniti numeri reali 3<x<10 ma non comprende i suoi estremi 3 e 10 all'interno. Questi ultimi non fanno parte dell'intervallo. E' un semplice esempio di insieme aperto visto in una sola dimensione.
  

• Insieme chiuso

  Un insieme chiuso è un insieme che include tutti i suoi punti di confine.

  In termini formali, un insieme \(B\) in uno spazio topologico \(X\) si dice chiuso se, intuitivamente, il suo complemento in \(X\) , cioè l'insieme di tutti i punti \( u \in X\) che non appartengono a \(B\)), è un insieme aperto. Un'altra caratteristica importante degli insiemi chiusi è che contengono tutti i loro punti di accumulazione.
  

  Esempio. Riprendo l'esempio precedente dell'insieme dei numeri reali tra 3 e 10. Se considero l'intervallo chiuso [3,10], questo comprende infiniti numeri reali 3≤x≤10 ma, a differenza dell'intervallo aperto, include anche i suoi estremi 3 e 10. In questo caso 3 e 10 (i "confini") sono elementi dell'insieme. Quindi, non esiste un intorno di 3 e di 10 all'interno dell'insieme B. Ad esempio, l'intorno 3±0.01 non fa parte dell'insieme B perché 3-0.01 è uguale 2.99 e non fa parte di B. E' un semplice esempio unidimensionale di insieme chiuso.
  

A cosa serve distinguere tra insieme aperto e chiuso?

La nozione di apertura e chiusura di un insieme è centrale in molte aree della matematica, come l'analisi funzionale, la geometria differenziale, e la teoria dei gruppi topologici, perché aiuta a definire e a comprendere la struttura interna degli spazi in cui si lavora.

Osservazioni

Alcune note a margine

• Insiemi né aperti, né chiusi (clopen)
  È importante notare che in alcuni spazi topologici, un insieme può essere sia aperto che chiuso, talvolta chiamato anche "insieme clopen", o né aperto né chiuso.

  Ad esempio, l'intero spazio topologico e l'insieme vuoto sono sempre sia aperti che chiusi in qualsiasi spazio topologico. Questi due insiemi sono gli esempi più semplici di insiemi clopen.

E così via.