Esercizio studio del limite 26

In questo esercizio devo risolvere il limite

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \]

Che tipo di limite è? È una forma indeterminata \( \frac{0}{0} \), perché sia il numeratore che il numeratore tendono a zero per $ x \to 0 $.

Quindi devo risolverlo usando qualche trasformazione.

Ad esempio, posso trasformare la differenza di radicali in una differenza di quadrati, cioè in un’espressione senza radici.

Moltiplico numeratore e denominatore per il coniugato del numeratore:

\[  \lim_{x \to 0}   \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \]

Ora al numeratore c'è una differenza di quadrati $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $

\[  \lim_{x \to 0}   \frac{( \sqrt{1 + x} )^2 - (1)^2 }{x\sqrt{1 + x} + 1} \]

\[ \lim_{x \to 0}  \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \]

\[ \lim_{x \to 0}  \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \]

Quindi l'espressione si semplifica:

\[ \lim_{x \to 0}  \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \]

A questo punto il limite si risolve facilmente perché è diventato un caso elementare.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]

Il limite della funzione è 1/2.

E così via.