Esercizio studio del limite 26
In questo esercizio devo risolvere il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \]
Che tipo di limite è? È una forma indeterminata \( \frac{0}{0} \), perché sia il numeratore che il numeratore tendono a zero per $ x \to 0 $.
Quindi devo risolverlo usando qualche trasformazione.
Ad esempio, posso trasformare la differenza di radicali in una differenza di quadrati, cioè in un’espressione senza radici.
Moltiplico numeratore e denominatore per il coniugato del numeratore:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \]
Ora al numeratore c'è una differenza di quadrati $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $
\[ \lim_{x \to 0} \frac{( \sqrt{1 + x} )^2 - (1)^2 }{x\sqrt{1 + x} + 1} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \]
Quindi l'espressione si semplifica:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \]
A questo punto il limite si risolve facilmente perché è diventato un caso elementare.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]
Il limite della funzione è 1/2.
E così via.