Logica classica

La logica proposizionale classica si fonda su alcuni principi cardine che ne determinano la struttura e il funzionamento

Questi sono i principi fondamentali della logica classica

• Il principio di bivalenza
  Stabilisce che ogni proposizione può essere esclusivamente vera (V) o falsa (F). Questo concetto è essenziale perché semplifica l'analisi logica riducendo ogni enunciato a una delle due possibilità, senza ambiguità, ma ci lascia poco margine per quelle situazioni che, nella vita vera, stanno tra il sì e il no.
• Il principio del terzo escluso
  Afferma che tra una proposizione $ P $ e la sua negazione $ \neg P $, almeno una delle due deve essere vera. $$ P \lor \neg P $$ Se è vera $ P $ allora è falsa la sua negazione $ \neg P $, e viceversa. Questo principio è utilissimo per tagliare corto nei ragionamenti, ma può diventare rigido quando si affrontano situazioni reali o paradossali.
• Connettivi vero-funzionali
  Un altro elemento chiave della logica classica è l'uso di connettivi vero-funzionali, ovvero operatori logici (¬, ∧, ∨, →, ↔) il cui risultato dipende unicamente dai valori di verità delle proposizioni che li compongono. Una logica semplice, pulita, ma che a volte ignora le sfumature della realtà. I principali connettivi vero-funzionali sono: la negazione (¬), la congiunzione (∧), la disgiunzione non esclusiva (∨), il condizionale "se ... allora" (→), il bicondizionale "se e solo se" (↔). $$
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  A & B & ¬A  & A \land B & A \lor B & A \rightarrow B & A \leftrightarrow B \\
  \hline
  V & V & F & V & V & V & V \\
  V & F & F & F & V & F & F \\
  F & V & V & F & V & V & F \\
  F & F & V & F & F & V & V \\
  \hline
  \end{array}
  $$
• Il principio di non contraddizione
  Questo principio afferma che una proposizione e la sua negazione non possono essere entrambe vere contemporaneamente. Ad esempio, non posso affermare che "Il cielo è nuvoloso e non è nuvoloso". Allo stesso modo non posso affermare che "ho ragione e ho torto" allo stesso tempo.

Il sistema di ragionamento basato sulla logica classica si fonda su questi principi.

Questi principi consentono di stabilire regole chiare e univoche per la valutazione della validità degli argomenti, garantendo coerenza e precisione nel processo deduttivo.

Nota. La logica classica è figlia di Aristotele e di una tradizione che cercava rigore nei ragionamenti. Ma i suoi limiti diventano evidenti in situazioni dove la verità non è netta. Ad esempio, la logica fuzzy mi permette di rappresentare gradi di verità, quindi posso affermare "È quasi nuvoloso". Un bel passo avanti rispetto al bianco e nero della logica classica.

I connettivi vero-funzionali

I connettivi principali della logica classica sono i seguenti:

A] Negazione (¬): "Non"

Cambia il valore di verità di una proposizione.

 Se una proposizione \(A\) è vera, la sua negazione \(¬A\) è falsa, e viceversa.

\(A\)	\(¬A\)
\(V\)	\(F\)
\(F\)	\(V\)

B] Congiunzione (∧): "E"

Una proposizione composta \(A ∧ B\) è vera solo quando entrambe le proposizioni componenti \(A\) e \(B\) sono vere.

\(A\)	\(B\)	\(A ∧ B\)
\(V\)	\(V\)	\(V\)
\(V\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(V\)	\(F\)
\(F\)	\(F\)	\(F\)

C] Disgiunzione (∨): "O" (inclusiva)

Una proposizione composta \(A ∨ B\) è vera se almeno una tra \(A\) e \(B\) è vera.

\(A\)	\(B\)	\(A ∨ B\)
\(V\)	\(V\)	\(V\)
\(V\)	\(F\)	\(V\)
\(F\)	\(V\)	\(V\)
\(F\)	\(F\)	\(F\)

Va detto che la disgiunzione inclusiva non va confusa con la disgiunzione esclusiva (xor), sono due operatori logici diversi.

D] Condizionale (→): "Se... allora"

La proposizione \(A → B\) è falsa solo quando \(A\) è vera e \(B\) è falsa; in tutti gli altri casi è vera.

\(A\)	\(B\)	\(A → B\)
\(V\)	\(V\)	\(V\)
\(V\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(V\)	\(V\)
\(F\)	\(F\)	\(V\)

E] Bicondizionale (↔): "Se e solo se".

La proposizione \(A ↔ B\) è vera quando \(A\) e \(B\) hanno lo stesso valore di verità.

\(A\)	\(B\)	\(A ↔ B\)
\(V\)	\(V\)	\(V\)
\(V\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(V\)	\(F\)
\(F\)	\(F\)	\(V\)

Un esempio pratico

Considero due proposizioni:

• \(A\): "Il cielo è nuvoloso."
• \(B\): "Sta piovendo."

La negazione \(¬A\) afferma: "Il cielo non è nuvoloso."

La congiunzione \(A ∧ B\) significa: "Il cielo è nuvoloso e sta piovendo".

La disgiunzione \(A ∨ B\) afferma: "Il cielo è nuvoloso oppure sta piovendo". In altre parole, è vera se almeno una delle due è vera.

Grazie alla semplicità delle tavole di verità, posso analizzare con precisione le relazioni tra proposizioni.

Valutazioni e modelli

In logica proposizionale, si parla spesso di valutazioni e modelli.

Che cos’è una valutazione?

Una valutazione è un modo per assegnare un valore di verità, Vero (V) oppure Falso (F), a ciascuna proposizione atomica (lettere come $A$, $B$, $C$ ecc.).

Ad esempio, ho queste lettere proposizionali:  $A$ e  $B$. Una possibile valutazione $v$ potrebbe essere: $$v(A) = V $$$$v(B) = F $$ Vuol dire che, secondo questa valutazione $ v $, la proposizione $A$ è vera mentre $B$ è falsa.

Cosa significa essere modello di una proposizione?

Una valutazione $v$ è detta "modello" di una proposizione $A$ se, quando applico $v$, quella proposizione risulta vera. Si scrive:

$$ v \vDash A $$

Se invece la proposizione $A$ risulta falsa sotto $v$, si dice che $v$ "non è modello" di $A$ e si scrive:

$$ v \nvDash A $$

Ad esempio, considera la proposizione: $$ A \lor B $$ Uso la valutazione di prima ( $v(A) = V$ e $v(B) = F$ ) e calcolo il valore di verità di $A \lor B$. In questo caso  $A \lor B$ è vero se almeno uno fra $A$ o $B$ è vero. Poiché $A$ è vero, anche $A \lor B$ è vero. Quindi $ v $ è un modello di $ A \lor B $ $$ v \vDash A \lor B $$ Se invece $v(A) = F$ e $v(B) = F$, allora $A \lor B$ sarebbe falsa e avrei: $$ v \nvDash A \lor B $$ ovvero $ v $ non è un modello di $ A \lor B $

Un metodo pratico per sapere se una proposizione è vera o falsa sotto una certa valutazione è costruire la sua tavola di verità.

Ad esempio, per la proposizione $A \lor B$ la tavola di verità è la seguente:

 

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \lor B \\
\hline
V & V & V \\
\hline
V & F & V \\
\hline
F & V & V \\
\hline
F & F & F \\
\hline
\end{array}
\]

Se scelgo $v(A)=V$ e $v(B)=F$, leggo dalla tavola che $A \lor B = V$. Quindi $v \vDash A \lor B$.

Modello di un insieme di proposizioni

A volte non c'è una sola proposizione, ma un intero insieme $X$ di proposizioni che devo considerare.

In questi casi, si dice che $v$ è modello di $X$ se rende vere tutte le proposizioni contenute in $X$. In simboli:

$$ v \vDash X \quad \text{se e solo se} \quad v \vDash P \text{ per ogni } P \in X. $$

Dove $ P $ è una generica proporzione contenuta in $  X $

Quando una formula proposizionale $ A $ è sempre vera, qualunque sia la valutazione $v$, è detta tautologia. In simboli si scrive:

$$ \models A \quad$$

Vuol dire che, per ogni $ v $ vale $ v \models A $.

Ad esempio, la formula $A \lor \neg A$ (o NOT A) è sempre vera. Quindi è una tautologia. $$ \models (A \lor \neg A)  $$

Quando una formula proposizionale $ A $ è vera ogni volte che la forma proposizionale $ B $ è vera, si dice che $A$ è conseguenza logica di $B$.

$$ B \models A $$

Vuol dire che per ogni $ v $, se $ v \models B $ allora $v \models A $.

Ad esempio, se $B$ è $A \land B$, allora $A$ è conseguenza logica di $B$, perché se $A \land B$ è vera, sicuramente anche $A$ è vera.

Allo stesso modo, se $X$ è un insieme di formule proposizionali (fp), si dice che A è una conseguenza logica di X se ogni volta che tutte le formule di $X$ sono vere, anche $A$ è vera.

$$ X \models A $$

In altre parole, se una valutazione $v$ rende vere tutte le formule in $X$, allora deve rendere vera anche $A$.

Ad esempio, considero l'insieme $X = \{ A \land B, B \rightarrow C \}$ composto da due formule proposizionali. Dove $ A $ è vero quando "piove", $ B $ è vero quando "porto l'ombrello", $ C $ è vero quando "non mi bagno". La proposizione $C$ è conseguenza logica di $X$ se, in ogni valutazione in cui $A \land B$ è vero ("piove" e "porto l'ombrello") e anche $B \rightarrow C$ è vero ("se porto l'ombrello, allora non mi bagno"), risulta vero pure $C$ ("non mi bagno"). $$ \{ A \land B, B \rightarrow C \} \models C $$ In altri termini, quando $ C $ è una conseguenza logica di $ X $, la formula proposizionale $ C $ non può mai essere falsa se tutte le formule dell'insieme $X$ sono vere contemporaneamente.

Le leggi logiche e le tautologie nella logica classica

Le leggi logiche sono proposizioni sempre vere, qualunque siano i valori di verità delle proposizioni di cui sono composte. Sono, in altre parole, tautologie.

Nella logica classica ogni proposizione è considerata o vera o falsa, e non esiste una terza possibilità.

Le leggi logiche valgono in ogni situazione possibile, perché risultano sempre vera qualunque combinazione di valori di verità si scelga per le variabili.

Ecco alcune tautologie importanti nella logica classica sono:

• Legge del terzo escluso
  Una proposizione è vera o la sua negazione è vera. $$ A \vee \neg A $$ Vuole dire che una proposizione è o vera o falsa. Non esiste una via di mezzo. Quindi, è sempre vera, quindi è una tautologia.
• Legge di non contraddizione
  Non è possibile che una proposizione sia contemporaneamente vera e falsa. $$ \neg (A \land \neg A) $$
• Doppia negazione
  Negare due volte una proposizione equivale ad affermarla. $$ \neg \neg A \rightarrow A $$
• Leggi di De Morgan
  Le negazioni si distribuiscono trasformando congiunzioni in disgiunzioni (e viceversa). $$ \neg (A \land B) \leftrightarrow (\neg A \vee \neg B) $$ $$ \neg (A \vee B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B) $$
• Contrapposizione
  Se A implica B, allora non B implica non A. $$ (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) $$
• Implicazione come disgiunzione
  Dire “se A allora B” equivale a dire “o non A oppure B”. $$ (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg A \vee B) $$

Le leggi logiche sono la base delle dimostrazioni** matematiche e di tutti i ragionamenti rigorosi.

Senza queste leggi, non potremmo stabilire con certezza se un ragionamento è valido oppure no.

La differenza tra le leggi e le regole. Le leggi logiche (tautologie) sono proposizioni sempre vere. Sono come “verità universali” della logica. Le regole logiche, invece, sono gli strumenti pratici per dedurre nuove proposizioni. Ad esempio, dal fatto che $A$ e $A \rightarrow B$ sono veri, posso concludere $B$. Questa è la regola del modus ponens, che corrisponde alla legge: $$ (A \land (A \rightarrow B)) \rightarrow B $$

In conclusione, la logica proposizionale classica, con i suoi principi di bivalenza e vero-funzionalità, costituisce la base del ragionamento logico formale.