Logica classica
La logica proposizionale classica si fonda su alcuni principi cardine che ne determinano la struttura e il funzionamento
Questi sono i principi fondamentali della logica classica
- Il principio di bivalenza
Stabilisce che ogni proposizione può essere esclusivamente vera (V) o falsa (F). Questo concetto è essenziale perché semplifica l'analisi logica riducendo ogni enunciato a una delle due possibilità, senza ambiguità, ma ci lascia poco margine per quelle situazioni che, nella vita vera, stanno tra il sì e il no. - Il principio del terzo escluso
Afferma che tra una proposizione $ P $ e la sua negazione $ \neg P $, almeno una delle due deve essere vera. $$ P \lor \neg P $$ Se è vera $ P $ allora è falsa la sua negazione $ \neg P $, e viceversa. Questo principio è utilissimo per tagliare corto nei ragionamenti, ma può diventare rigido quando si affrontano situazioni reali o paradossali. - Connettivi vero-funzionali
Un altro elemento chiave della logica classica è l'uso di connettivi vero-funzionali, ovvero operatori logici (¬, ∧, ∨, →, ↔) il cui risultato dipende unicamente dai valori di verità delle proposizioni che li compongono. Una logica semplice, pulita, ma che a volte ignora le sfumature della realtà. - Il principio di non contraddizione
Questo principio afferma che una proposizione e la sua negazione non possono essere entrambe vere contemporaneamente. Ad esempio, non posso affermare che "Il cielo è nuvoloso e non è nuvoloso". Allo stesso modo non posso affermare che "ho ragione e ho torto" allo stesso tempo.
Il sistema di ragionamento basato sulla logica classica si fonda su questi principi.
Questi principi consentono di stabilire regole chiare e univoche per la valutazione della validità degli argomenti, garantendo coerenza e precisione nel processo deduttivo.
Nota. La logica classica è figlia di Aristotele e di una tradizione che cercava rigore nei ragionamenti. Ma i suoi limiti diventano evidenti in situazioni dove la verità non è netta. Ad esempio, la logica fuzzy mi permette di rappresentare gradi di verità, quindi posso affermare "È quasi nuvoloso". Un bel passo avanti rispetto al bianco e nero della logica classica.
I connettivi vero-funzionali
I connettivi principali della logica classica sono i seguenti:
A] Negazione (¬): "Non"
Cambia il valore di verità di una proposizione.
Se una proposizione \(A\) è vera, la sua negazione \(¬A\) è falsa, e viceversa.
| \(A\) | \(¬A\) |
|---|---|
| \(V\) | \(F\) |
| \(F\) | \(V\) |
B] Congiunzione (∧): "E"
Una proposizione composta \(A ∧ B\) è vera solo quando entrambe le proposizioni componenti \(A\) e \(B\) sono vere.
| \(A\) | \(B\) | \(A ∧ B\) |
|---|---|---|
| \(V\) | \(V\) | \(V\) |
| \(V\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(V\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
C] Disgiunzione (∨): "O" (inclusiva)
Una proposizione composta \(A ∨ B\) è vera se almeno una tra \(A\) e \(B\) è vera.
| \(A\) | \(B\) | \(A ∨ B\) |
|---|---|---|
| \(V\) | \(V\) | \(V\) |
| \(V\) | \(F\) | \(V\) |
| \(F\) | \(V\) | \(V\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
Va detto che la disgiunzione inclusiva non va confusa con la disgiunzione esclusiva (xor), sono due operatori logici diversi.
Cos'è la disgiunzione esclusiva? La disgiunzione esclusiva è vera se uno tra A e B è vero, ma non tutte e due. E' indicata con il simbolo xor, $ \veebar $, oppure $ \oplus $. Questo connettivo non fa formalmente parte della logica classica come connettivo primitivo, perché si può comunque definire usando i connettivi che già esistono. $$ A \oplus B = (A \lor B) \land \neg (A \land B) $$ In parole povere: $A$ xor $B$ è vera se almeno uno tra $A$ e $B$ è vero, ma non entrambi insieme.
| \(A\) | \(B\) | \(A \oplus B\) |
|---|---|---|
| \(V\) | \(V\) | \(F\) |
| \(V\) | \(F\) | \(V\) |
| \(F\) | \(V\) | \(V\) |
| \(F\) | \(F\) | \(F\) |
Quindi, spesso la disgiunzione inclusiva non viene citata perché la logica classica punta all’essenzialità.
D] Condizionale (→): "Se... allora"
La proposizione \(A → B\) è falsa solo quando \(A\) è vera e \(B\) è falsa; in tutti gli altri casi è vera.
| \(A\) | \(B\) | \(A → B\) |
|---|---|---|
| \(V\) | \(V\) | \(V\) |
| \(V\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(V\) | \(V\) |
| \(F\) | \(F\) | \(V\) |
E] Bicondizionale (↔): "Se e solo se".
La proposizione \(A ↔ B\) è vera quando \(A\) e \(B\) hanno lo stesso valore di verità.
| \(A\) | \(B\) | \(A ↔ B\) |
|---|---|---|
| \(V\) | \(V\) | \(V\) |
| \(V\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(V\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(V\) |
Un esempio pratico
Considero due proposizioni:
- \(A\): "Il cielo è nuvoloso."
- \(B\): "Sta piovendo."
La negazione \(¬A\) afferma: "Il cielo non è nuvoloso."
La congiunzione \(A ∧ B\) significa: "Il cielo è nuvoloso e sta piovendo".
La disgiunzione \(A ∨ B\) afferma: "Il cielo è nuvoloso oppure sta piovendo". In altre parole, è vera se almeno una delle due è vera.
Grazie alla semplicità delle tavole di verità, posso analizzare con precisione le relazioni tra proposizioni.
In conclusione, la logica proposizionale classica, con i suoi principi di bivalenza e vero-funzionalità, costituisce la base del ragionamento logico formale.
