Logica classica

La logica proposizionale classica si fonda su alcuni principi cardine che ne determinano la struttura e il funzionamento

Questi sono i principi fondamentali della logica classica

  • Il principio di bivalenza
    Stabilisce che ogni proposizione può essere esclusivamente vera (V) o falsa (F). Questo concetto è essenziale perché semplifica l'analisi logica riducendo ogni enunciato a una delle due possibilità, senza ambiguità, ma ci lascia poco margine per quelle situazioni che, nella vita vera, stanno tra il sì e il no.
  • Il principio del terzo escluso
    Afferma che tra una proposizione $ P $ e la sua negazione $ \neg P $, almeno una delle due deve essere vera. $$ P \lor \neg P $$ Se è vera $ P $ allora è falsa la sua negazione $ \neg P $, e viceversa. Questo principio è utilissimo per tagliare corto nei ragionamenti, ma può diventare rigido quando si affrontano situazioni reali o paradossali.
  • Connettivi vero-funzionali
    Un altro elemento chiave della logica classica è l'uso di connettivi vero-funzionali, ovvero operatori logici (¬, ∧, ∨, →, ↔) il cui risultato dipende unicamente dai valori di verità delle proposizioni che li compongono. Una logica semplice, pulita, ma che a volte ignora le sfumature della realtà.
  • Il principio di non contraddizione
    Questo principio afferma che una proposizione e la sua negazione non possono essere entrambe vere contemporaneamente. Ad esempio, non posso affermare che "Il cielo è nuvoloso e non è nuvoloso". Allo stesso modo non posso affermare che "ho ragione e ho torto" allo stesso tempo.

Il sistema di ragionamento basato sulla logica classica si fonda su questi principi.

Questi principi consentono di stabilire regole chiare e univoche per la valutazione della validità degli argomenti, garantendo coerenza e precisione nel processo deduttivo.

Nota. La logica classica è figlia di Aristotele e di una tradizione che cercava rigore nei ragionamenti. Ma i suoi limiti diventano evidenti in situazioni dove la verità non è netta. Ad esempio, la logica fuzzy mi permette di rappresentare gradi di verità, quindi posso affermare "È quasi nuvoloso". Un bel passo avanti rispetto al bianco e nero della logica classica.

I connettivi vero-funzionali

I connettivi principali della logica classica sono i seguenti:

A] Negazione (¬): "Non"

Cambia il valore di verità di una proposizione.

 Se una proposizione \(A\) è vera, la sua negazione \(¬A\) è falsa, e viceversa.

\(A\) \(¬A\)
\(V\) \(F\)
\(F\) \(V\)

B] Congiunzione (∧): "E"

Una proposizione composta \(A ∧ B\) è vera solo quando entrambe le proposizioni componenti \(A\) e \(B\) sono vere.

\(A\) \(B\) \(A ∧ B\)
\(V\) \(V\) \(V\)
\(V\) \(F\) \(F\)
\(F\) \(V\) \(F\)
\(F\) \(F\) \(F\)

C] Disgiunzione (∨): "O" (inclusiva)

Una proposizione composta \(A ∨ B\) è vera se almeno una tra \(A\) e \(B\) è vera.

\(A\) \(B\) \(A ∨ B\)
\(V\) \(V\) \(V\)
\(V\) \(F\) \(V\)
\(F\) \(V\) \(V\)
\(F\) \(F\) \(F\)

Va detto che la disgiunzione inclusiva non va confusa con la disgiunzione esclusiva (xor), sono due operatori logici diversi.

Cos'è la disgiunzione esclusiva? La disgiunzione esclusiva è vera se uno tra A e B è vero, ma non tutte e due.  E' indicata con il simbolo xor, $ \veebar $, oppure $ \oplus $. Questo connettivo non fa formalmente parte della logica classica come connettivo primitivo, perché si può comunque definire usando i connettivi che già esistono. $$ A \oplus B = (A \lor B) \land \neg (A \land B) $$ In parole povere: $A$ xor $B$ è vera se almeno uno tra $A$ e $B$ è vero, ma non entrambi insieme.

\(A\) \(B\) \(A \oplus B\)
\(V\) \(V\) \(F\)
\(V\) \(F\) \(V\)
\(F\) \(V\) \(V\)
\(F\) \(F\) \(F\)

Quindi, spesso la disgiunzione inclusiva non viene citata perché la logica classica punta all’essenzialità.

D] Condizionale (→): "Se... allora"

La proposizione \(A → B\) è falsa solo quando \(A\) è vera e \(B\) è falsa; in tutti gli altri casi è vera.

\(A\) \(B\) \(A → B\)
\(V\) \(V\) \(V\)
\(V\) \(F\) \(F\)
\(F\) \(V\) \(V\)
\(F\) \(F\) \(V\)

E] Bicondizionale (↔): "Se e solo se".

La proposizione \(A ↔ B\) è vera quando \(A\) e \(B\) hanno lo stesso valore di verità.

\(A\) \(B\) \(A ↔ B\)
\(V\) \(V\) \(V\)
\(V\) \(F\) \(F\)
\(F\) \(V\) \(F\)
\(F\) \(F\) \(V\)

Un esempio pratico

Considero due proposizioni:

  • \(A\): "Il cielo è nuvoloso."
  • \(B\): "Sta piovendo."

La negazione \(¬A\) afferma: "Il cielo non è nuvoloso."

La congiunzione \(A ∧ B\) significa: "Il cielo è nuvoloso e sta piovendo".

La disgiunzione \(A ∨ B\) afferma: "Il cielo è nuvoloso oppure sta piovendo". In altre parole, è vera se almeno una delle due è vera.

Grazie alla semplicità delle tavole di verità, posso analizzare con precisione le relazioni tra proposizioni.

In conclusione, la logica proposizionale classica, con i suoi principi di bivalenza e vero-funzionalità, costituisce la base del ragionamento logico formale.

 

 


 

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