Legge distributiva della disgiunzione sulla congiunzione
La legge della distribuzione della disgiunzione ( ∨ ) sulla congiunzione ( ∧ ) stabilisce che una disgiunzione tra una proposizione $A$ e una congiunzione $(B \land C)$ è logicamente equivalente a una congiunzione tra due disgiunzioni. $$ A \vee (B \land C) \;\leftrightarrow\; (A \vee B) \land (A \vee C) $$
In altre parole, la formula mostra che verificare $A \vee (B \land C)$ equivale a verificare contemporaneamente $A \vee B$ e $A \vee C$.
Questa equivalenza è fondamentale nella logica proposizionale perché mi permette di trasformare formule in forme più semplici o utili nei calcoli e nelle dimostrazioni.
Un esempio pratico
Considero tre proposizioni:
- $A$: “Piove”
- $B$: “Fa freddo”
- $C$: “È nuvoloso”
L’espressione $A \vee (B \land C)$ significa:
“O piove, oppure fa freddo ed è nuvoloso.”
La forma distribuita $(A \vee B) \land (A \vee C)$ significa:
“O piove o fa freddo, e allo stesso tempo o piove o è nuvoloso.”
Secondo la legge queste due frasi esprimono la stessa condizione di verità.
Per dimostrare l’equivalenza analizzo tutti gli 8 casi possibili delle tre variabili booleane $A, B, C$.
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & B \land C & A \vee (B \land C) & A \vee B & A \vee C & (A \vee B) \land (A \vee C) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \]
Le colonne $A \vee (B \land C)$ e $(A \vee B) \land (A \vee C)$ coincidono perfettamente in tutti i casi: l’equivalenza è verificata.
E così via.
