Conseguenza logica
Date due forme proposizionali \( A \) e \( B \), si dice che \( A \) è conseguenza logica di \( B \), e si scrive $ B \models A $ se e solo se ogni volta che \( B \) è vera, anche \( A \) è vera.
In altre parole, \( B \models A \) significa che non esiste una situazione in cui \( B \) è vera mentre \( A \) è falsa.
Questa relazione tra \( B \) e \( A \) è importante in logica per dimostrare quando una formula (o affermazione) segue logicamente da un'altra.
Un esempio pratico
Considero due forme proposizionali.
- \( A \): "Il numero è pari.
- \( B \): "Il numero è divisibile per 4.
Dire che \( B \models A \) significa che "se un numero è divisibile per 4, allora è sicuramente pari".
Ora, provo a rompere questo ragionamento:
- Se un numero è divisibile per 4 (esempi: 4, 8, 12, 16), beh, per forza è pure pari. Perché tutti i numeri divisibili per 4 lo sono automaticamente anche per 2.
- Non esiste un caso in cui \( B \) (divisibile per 4) sia vero e \( A \) (pari) sia falso. Impossibile, matematicamente.
In questo esempio non non c’è nessuna interpretazione del mondo in cui \( B \models A \) viene smontato.
Se dico che il numero è divisibile per 4, già so al 100% che è pari, senza se e senza ma.
E' un esempio di conseguenza logica \( B \models A \).
Esempio 2
Considero queste due forme proposizionali.
- \( A \): "Il terreno è bagnato"
- \( B \): "Piove"
La frase \( B \models A \) significa che "ogni volta che piove, il terreno è bagnato".
Quindi, secondo questa conseguenza logica non può esistere una situazione in cui piove (\( B \) vera) e il terreno non è bagnato (\( A \) falsa).
Tuttavia, qualcuno potrebbe obiettare con "Eh ma potrebbe piovere e il terreno non si bagna perché c’è un telone".
E' vero... ma in questo caso la conseguenza logica \( B \models A \) non vale più.
Nota. Il telone cambia tutto, perché non è più vero che ogni volta che piove il terreno si bagna. In realtà, la conseguenza \( B \models A \) non è che funziona a metà o "quasi sempre". O vale sempre, o non vale per niente. Se c’è pure una sola situazione dove \( B \) è vera (piove) e \( A \) è falsa (il terreno non si bagna), tutto il castello logico di \( B \models A \) crolla e la relazione della conseguenza logica non è più valida, fine della storia.
In altre parole, la conseguenza logica funziona solo quando è vera in tutte le interpretazioni. Se non è così... allora non è una conseguenza logica.
La differenza tra conseguenza e implicazione logica
La conseguenza logica e l'implicazione non sono esattamente la stessa cosa, anche se sono concetti collegati e spesso confusi.
- L'implicazione logica \( B \to A \) è una formula logica che può essere vera o falsa a seconda della valutazione di \( B \) e \( A \). L'implicazione logica \( B \to A \) è falsa solo se \( B \) è vera e \( A \) è falsa. In tutti gli altri casi, \( B \to A \) è vera. $$ \begin{array}{cr|c} A & B & A→B \\ \hline V & V & V \\ \color{red}V & \color{red}F & \color{red}F \\ F & V & V \\ F & F & V \end{array} $$ Quindi, l'implicazione \( B \to A \) è valutabile caso per caso.
Ad esempio, \( B \to A \) è una formula che dice: "Se piove, allora il terreno è bagnato".
- La conseguenza logica \( B \models A \) è una relazione tra formule che afferma che \( A \) è vera ogni volta che \( B \) è vera, in tutte le possibili interpretazioni. A differenza dell'implicazione, la conseguenza logica non dipende da una specifica valutazione di verità.
Ad esempio, dire "ogni volta che piove, il terreno si bagna sempre" è una conseguenza logica perché non esistono casi in cui piove e il terreno rimane asciutto.
Quindi, l'implicazione \( B \to A \) è la versione sintattica, mentre la conseguenza logica \( B \models A \) è la versione semantica di un ragionamento logico.
Tra i due concetti c'è comunque una relazione.
La formula \( B \to A \) è sempre vera, ossia diventa una tautologia, se e solo se esiste la relazione di conseguenza logica \( B \models A \).
$$ B \models A \quad \text{se e solo se} \quad B \to A \, \text{è una tautologia} $$
E così via.
