Sistema deduttivo

Un sistema deduttivo è un insieme di regole e assunzioni (assiomi) che mi permette di dimostrare quali proposizioni sono vere partendo da quelle già accettate come tali.

In altre parole, un sistema deduttivo produce nuove informazioni (proposizioni) a partire da un insieme di informazioni iniziali dette assiomi, utilizzando una particolare regola di inferenza.

È un modo rigoroso e formale per costruire argomentazioni logiche.

Le principali componenti di un sistema deduttivo sono:

• Assiomi
  Sono le proposizioni iniziali che accetto come vere senza bisogno di dimostrazione. Ad esempio, in geometria, un assioma è "in due punti distinti passa una sola retta".
• Regole di inferenza
  Sono le regole che mi permettono di dedurre nuove proposizioni a partire da quelle già accettate. Esistono diverse regole di inferenza tra cui scegliere.

  Ad esempio, una regola di inferenza è il "modus ponens" che stabilisce che da \(A \to B\) (se A implica B) e \(A\) (A è vero), segue che \(B\) è vero. Un'altra regola di inferenza è il "modus tollens" che da \(A \to B\) (se A implica B) e \( \neg A\) (A è falso), segue che \( \neg B \) ossia anche \( B \) è falso.

• Proposizioni derivate
  Queste sono le proposizioni che posso dimostrare (dedurre) usando gli assiomi e le regole di inferenza.

Esempio. In geometria euclidea, a partire dagli assiomi di Euclide, si possono dimostrare teoremi come "La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°". Questo processo deduttivo è applicabile a qualsiasi ambito che richieda una formalizzazione rigorosa.

Come funziona nella pratica?

Si parte da alcuni assiomi che considero veri senza bisogno di dimostrazione.

Poi applico delle regole di inferenza per ottenere nuove proposizioni (deduzioni), tramite una serie di passaggi logici.

Le nuove proposizioni che ottengo in questo modo sono considerate vere nel sistema.

Quindi, un sistema deduttivo mi permette di utilizzare un metodo chiaro e sistematico per distinguere tra ciò che è "vero" e ciò che non lo è, secondo le regole del sistema.

Ovviamente le conclusioni dipendono dagli assiomi e dalle regole di inferenza del sistema.  Ciò che è vero in un sistema deduttivo, potrebbe non esserlo in un altro.

Perché è utile? Un sistema deduttivo è essenziale in matematica, logica e filosofia perché fornisce una base formale per costruire argomentazioni valide, garantendo che le conclusioni siano corrette se le premesse lo sono.

Un esempio pratico

Un classico esempio di sistema deduttivo è il seguente:

Considero questi assiomi.

1. "Tutti gli uomini sono mortali" (\( A \to B \))
2. "Socrate è un uomo" (\( A \))

Utilizzo come regola di inferenza il modus tollens. Se tutti gli elementi di un insieme hanno una certa proprietà e un elemento appartiene a quell'insieme, allora anche quell'elemento ha quella proprietà.

In questo caso, la proposizione derivata è "Socrate è mortale".

Esempio 2

Considero di avere queste affermazioni iniziali (assiomi).

1. "Se oggi piove, allora porto l'ombrello." (\( A \to B \))
2. "Oggi piove." (\( A \))

Il primo assioma stabilisce una relazione di implicazione: se \( A \) è vero, anche \( B \) lo sarà, dove \( A \) è "Oggi piove" e  \( B \) è "Porto l’ombrello". Il secondo assioma afferma che \( A \) è vero.

Usando il modus ponens come regola di inferenza, da quest premesse posso dedurre "Porto l'ombrello" (\( B \)).

In questo caso, la proposizione derivata è "Porto l'ombrello".

Quest'ultima è considerata vera nel sistema deduttivo, dato che le premesse e la regola di inferenza sono rispettate.

Esempio 3

Considero quest'altro esempio con tre assiomi:

1. "Se il gatto vede il divano nuovo, allora lo graffià" (\( A \to B \))
2. "Il gatto ha visto il divano nuovo." (\( A \))
3. "Se il gatto graffia il divano nuovo, allora io mi arrabbio" (\( B \to C \))

Usando come regola di inferenza il modus ponens, poiché l’assioma \( A \to B \) dice che se \( A \) è vero (il gatto vede il divano nuovo), allora \( B \) è vero (il gatto lo graffià), e dato che \( A \) è dichiarato vero, deduco che: "Il gatto sta graffiando il divano nuovo".

Visto che \( B \) è vero, che succede? Modus ponens di nuovo \( B \to C \) e deduco che "mi arrabbio"

Questo sistema deduttivo dimostra che i gatti non possono resistere al desiderio di graffiare un divano nuovo.

Quindi, se ho un gatto in casa, comprare un divano mi farà sicuramente arrabbiare...

Esempio 4

Le premesse iniziali (assiomi) sono i seguenti:

1. "Se piove, allora il terreno è bagnato" ( \( P \rightarrow T \) )
2. "Se il terreno è bagnato, allora l'erba è verde" ( \( T \rightarrow V \) )
3. "Non è vero che l'erba è verde" ( \(\neg V\) )

In questo esempio utilizzo una regola di inferenza diversa, il modus tollens, una regola di inferenza che mi permette di negare l'antecedente di un'implicazione se il conseguente è falso.

Seguendo questo ragionamento posso dedurre che "non piove" usando due volte il modus tollens.

Spiegazione. Il terzo assioma afferma che "l'erba non è verde" (\(\neg V\)). Applicando il modus tollens, tramite il secondo assioma deduco ( \( T \rightarrow V \) ) che "il terreno non è bagnato". Una volta dedotto che il terreno non è bagnato ( \(\neg T\) ), sempre applicando il modus tollens ( \( P \rightarrow T \) ), dal primo assioma deduco che "Non piove" ( \(\neg P\) ).

E così via.