Le espressioni logiche

Le espressioni logiche sono due o più proposizioni composte tramite i connettivi logici. $$ A ∧ (B ∨ \bar{C} ) $$

Le componenti di un'espressione logica sono proposizioni logiche.

Possono essere proposizioni semplici (es. A,B,C) oppure proposizioni composte (es. A ∨ B)

$$ A ∧ (B ∨ \bar{C} ) $$

Per elaborare la tavola di verità di un'espressione logica vanno rispettate determinate regole di precedenza tra i connettivi logici.

Nota. Spesso le espressioni logiche sono anche dette semplicemente proposizioni composte o molecolari.

Le regole di precedenza dei connettivi logici
Un esempio pratico

Le regole di precedenza dei connettivi logici

In un'espressione logica, se non ci sono parentesi o dentro una parentesi, devo applicare delle regole di precedenza simili a quelle usate in matematica.

In particolar modo, è molto importante ricordare che la negazione logica ha la precedenza su tutti gli altri connettivi logici.

La congiunzione e la disgiunzione, invece, hanno la stessa precedenza tra loro.

Esempio. Per calcolare il valore di verità della proposizione composta $$ A ∧ \bar{B } $$ devo prima calcolare la negazione su B, poi la congiunzione tra A e B negato. Se A=V e B=V il calcolo si svolge in questo modo $$ A ∧ \bar{B } = V ∧ \bar{V } = V ∧ F = F $$

In presenza di parentesi, vanno calcolate prima le parentesi più interne e poi man man quelle più esterne.

Generalmente, le parentesi più interne sono tonde, poi quadre e infine graffe all'esterno.

Esempio. Per calcolare il valore di verità della proposizione composta $$ A ∨ ( B ∧ C ) $$ devo prima calcolare la proposizione tra parentesi ( B ∧ C ) e poi la disgiunzione tra A e il valore di verità di ( B ∧ C ). Se A=V , B=V , C=F il calcolo si svolge in questo modo $$ A ∨ ( B ∧ C ) = V ∨ ( \underbrace{V ∧ F}_F ) = V ∨ F = V $$

Un esempio pratico

Considero l'espressione logica

$$ A ∧ (B ∨ \bar{C}) $$

Ogni proposizione semplice ha due valori di verità possibili (V=vero o F=falso).

Comincio a scrivere la tavola di verità inserendo le combinazioni possibili di valori di verità delle proposizioni atomiche (A,B,C)

$$ \begin{array}{ccr|c} A & B & C & A ∧ (B ∨ \bar{C} ) \\ \hline F & F & F \\ V & F & F \\ F & V & F \\ V & V & F \\ F & F & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ V & V & V \end{array} $$

E' una buona prassi aggiungere delle colonne per svolgere gli eventuali calcoli intermedi.

In questo caso c'è una proposizione composta (B ∨ ¬C), aggiungo una colonna intermedia nella tavola di verità e svolgo il calcolo per ogni combinazione dei valori logici di B e C

$$ \begin{array}{ccr|c|} A & B & C & \bar{C} & B ∨ \bar{C} & A ∧ (B ∨ \bar{C} ) \\ \hline F & F & F & V & V \\ V & F & F & V & V \\ F & V & F & V& V \\ V & V & F & V& V \\ F & F & V & F& V \\ V & F & V & F& V \\ F & V & V & F& V \\ V & V & V & F& V \end{array} $$

Nota. Per semplicità ho aggiunto due colonne, una per indicare il valore negato e l'altra per il calcolo della disgiunzione (B ∨ ¬C). Generalmente non è necessario aggiungere una colonna solo per indicare il valore negato.

Infine, calcolo la congiunzione di A con (B ∨ ¬C) nell'ultima colonna della tavola di verità.

$$ \begin{array}{ccr|c|} A & B & C & \bar{C} & B ∨ \bar{C} & A ∧ (B ∨ \bar{C} ) \\ \hline F & F & F & V & V & F \\ V & F & F & V & V & V \\ F & V & F & V& V & F \\ V & V & F & V& V & V \\ F & F & V & F& F & F \\ V & F & V & F& F & F \\ F & V & V & F& V & F \\ V & V & V & F& V & V \end{array} $$

Il risultato finale è la tavola di verità dell'espressione logica.

E così via.