Lettere proposizionali

Le lettere proposizionali sono simboli, tipicamente indicati con le lettere dell'alfabeto $ p, q, r, \ldots $, che rappresentano delle proposizioni semplici.

Queste proposizioni semplici sono affermazioni che possono essere vere o false, ma non entrambe contemporaneamente, e non sono ulteriormente scomponibili in termini di logica.

Ad esempio:

$ p $: "Piove"
$ q $: "Fa freddo"

Questi simboli vengono utilizzati come elementi di base nel linguaggio della logica proposizionale.

Posso usarle per costruire proposizioni composte (o forme proposizionali) tramite i connettivi logici come la negazione, la congiunzione, la disgiunzione, ecc.

Negazione ($ \neg $): $ \neg p $ significa "Non piove".
Congiunzione ($ \land $): $ p \land q $ significa "Piove e fa freddo".
Disgiunzione ($ \lor $): $ p \lor q $ significa "Piove oppure fa freddo".
Implicazione ($ \rightarrow $): $ p \rightarrow q $ significa "Se piove, allora fa freddo".
Equivalenza ($ \leftrightarrow $): $ p \leftrightarrow q $ significa "Piove se e solo se fa freddo".

Ad esempio, voglio analizzare il ragionamento tramite queste premesse:

"Se piove ($ p $), allora la strada è bagnata ($ q $)"
"Sta piovendo ($ p $)"

Formalmente, il ragionamento si scrive come $ p \rightarrow q $

Da queste premesse posso concludere per modus ponens che la proposizione $ q $ è vera.

"La strada è bagnata ($ q $)"

Le lettere proposizionali sono quindi fondamentali per formalizzare enunciati e ragionamenti logici.

La valutazione delle lettere

La valutazione nel contesto della logica proposizionale è il processo attraverso il quale attribuisco un valore di verità, V (vero) o F (falso), a tutte le lettere proposizionali $ p, q, r, \ldots $ appartenenti a un insieme $ U $.

Questo costituisce il punto di partenza per determinare il valore di verità di una formula proposizionale più complessa.

Dopo aver assegnato i valori di verità alle lettere proposizionali, si calcola il valore della formula seguendo le regole dei connettivi logici, ottenendo così il risultato finale.

Nota. Una valutazione $ v $ si dice modello di una formula proposizionale $ A $ se, assegnando i valori di verità definiti da $ v $ alle lettere proposizionali, $ A $ risulta vera, cioè $ v(A) = V $. In tal caso, si scrive $$ v \models A $$ Dove il simbolo $ \models $ vuol dire "soddisfa" o "modello di". Viceversa, se $ A $ risulta falsa per una certa valutazione $ v $, si dice che $ v $ non è un modello di $ A $, e si scrive $ v \not\models A $.

Per calcolare il valore di verità di una formula proposizionale $ A $ in tutte le possibili valutazioni, si utilizza la tavola di verità.

La tavola di verità elenca tutte le combinazioni possibili dei valori di verità delle lettere proposizionali contenute in $ A $, e calcola il risultato della formula per ciascuna combinazione.

Un esempio pratico

Considero la formula $ A = p \land q $, con le lettere proposizionali $ p $ e $ q $.

La tavola di verità sarà la seguente:

p	q	A = p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Dalla tavola si vede che $ A $ è vera solo quando $ p $ e $ q $ sono entrambi veri.

Quindi, in questo esempio il modello è la valutazione $ p = V $, $ q = V $.

La relazione tra una valutazione e un insieme di formule logiche

Una valutazione $v$ soddisfa un intero insieme di formule logiche $X$ ($v \vDash X$) se e solo se $v$ rende vera ogni singola formula $A$ contenuta in $X$.

In altre parole, per dire che un insieme di condizioni è rispettato, devo verificare che ciascuna condizione individuale sia soddisfatta.

Se $ X $ è un insieme di condizioni da verificare, ad esempio $\{A, B, C\}$, la valutazione $v$ assegna un valore di verità a ciascuna formula. Se $v$ rende vero $A$, $B$ e $C$, allora $v \vDash X$. Questo è equivalente a dire che $v \vDash A$, $v \vDash B$ e $v \vDash C$.

Esempio pratico

Considero l'insieme $X = \{p \lor q, \neg q\}$, dove $p \lor q$ significa "o $p$ o $q$", e $\neg q$ significa "non $q$".

Una valutazione $v$ assegna i seguenti valori:

$v(p) = \text{vero}$
$v(q) = \text{falso}$

La formula $p \lor q$: $v(p) = \text{vero}$ rende $p \lor q$ vero. Quindi $v \vDash p \lor q$.

La formula $\neg q$: $v(q) = \text{falso}$, quindi $\neg q = \text{vero}$. Anche questa è soddisfatta.

Poiché $v$ soddisfa entrambe le formule di $X$, posso concludere che $v \vDash X$.

Questo è esattamente ciò che l’enunciato afferma: soddisfare l’intero insieme è equivalente a soddisfare ogni formula al suo interno.

E così via.