Lettere proposizionali
Le lettere proposizionali sono simboli, tipicamente indicati con le lettere dell'alfabeto \( p, q, r, \ldots \), che rappresentano delle proposizioni semplici.
Queste proposizioni semplici sono affermazioni che possono essere vere o false, ma non entrambe contemporaneamente, e non sono ulteriormente scomponibili in termini di logica.
Ad esempio:
- \( p \): "Piove"
- \( q \): "Fa freddo"
Questi simboli vengono utilizzati come elementi di base nel linguaggio della logica proposizionale.
Posso usarle per costruire proposizioni composte (o forme proposizionali) tramite i connettivi logici come la negazione, la congiunzione, la disgiunzione, ecc.
- Negazione (\( \neg \)): \( \neg p \) significa "Non piove".
- Congiunzione (\( \land \)): \( p \land q \) significa "Piove e fa freddo".
- Disgiunzione (\( \lor \)): \( p \lor q \) significa "Piove oppure fa freddo".
- Implicazione (\( \rightarrow \)): \( p \rightarrow q \) significa "Se piove, allora fa freddo".
- Equivalenza (\( \leftrightarrow \)): \( p \leftrightarrow q \) significa "Piove se e solo se fa freddo".
Ad esempio, voglio analizzare il ragionamento tramite queste premesse:
"Se piove (\( p \)), allora la strada è bagnata (\( q \))"
"Sta piovendo (\( p \))"
Formalmente, il ragionamento si scrive come \( p \rightarrow q \)
Da queste premesse posso concludere per modus ponens che la proposizione \( q \) è vera.
"La strada è bagnata (\( q \))"
Le lettere proposizionali sono quindi fondamentali per formalizzare enunciati e ragionamenti logici.
La valutazione delle lettere
La valutazione nel contesto della logica proposizionale è il processo attraverso il quale attribuisco un valore di verità, V (vero) o F (falso), a tutte le lettere proposizionali \( p, q, r, \ldots \) appartenenti a un insieme \( U \).
Questo costituisce il punto di partenza per determinare il valore di verità di una formula proposizionale più complessa.
Dopo aver assegnato i valori di verità alle lettere proposizionali, si calcola il valore della formula seguendo le regole dei connettivi logici, ottenendo così il risultato finale.
Nota. Una valutazione \( v \) si dice modello di una formula proposizionale \( A \) se, assegnando i valori di verità definiti da \( v \) alle lettere proposizionali, \( A \) risulta vera, cioè \( v(A) = V \). In tal caso, si scrive $$ v \models A $$ Dove il simbolo \( \models \) vuol dire "soddisfa" o "modello di". Viceversa, se \( A \) risulta falsa per una certa valutazione \( v \), si dice che \( v \) non è un modello di \( A \), e si scrive \( v \not\models A \).
Per calcolare il valore di verità di una formula proposizionale \( A \) in tutte le possibili valutazioni, si utilizza la tavola di verità.
La tavola di verità elenca tutte le combinazioni possibili dei valori di verità delle lettere proposizionali contenute in \( A \), e calcola il risultato della formula per ciascuna combinazione.
Un esempio pratico
Considero la formula \( A = p \land q \), con le lettere proposizionali \( p \) e \( q \).
La tavola di verità sarà la seguente:
p | q | A = p ∧ q |
---|---|---|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Dalla tavola si vede che \( A \) è vera solo quando \( p \) e \( q \) sono entrambi veri.
Quindi, in questo esempio il modello è la valutazione \( p = V \), \( q = V \).
La relazione tra una valutazione e un insieme di formule logiche
Una valutazione \(v\) soddisfa un intero insieme di formule logiche \(X\) (\(v \vDash X\)) se e solo se \(v\) rende vera ogni singola formula \(A\) contenuta in \(X\).
In altre parole, per dire che un insieme di condizioni è rispettato, devo verificare che ciascuna condizione individuale sia soddisfatta.
Se \( X \) è un insieme di condizioni da verificare, ad esempio \(\{A, B, C\}\), la valutazione \(v\) assegna un valore di verità a ciascuna formula. Se \(v\) rende vero \(A\), \(B\) e \(C\), allora \(v \vDash X\). Questo è equivalente a dire che \(v \vDash A\), \(v \vDash B\) e \(v \vDash C\).
Esempio pratico
Considero l'insieme \(X = \{p \lor q, \neg q\}\), dove \(p \lor q\) significa "o \(p\) o \(q\)", e \(\neg q\) significa "non \(q\)".
Una valutazione \(v\) assegna i seguenti valori:
- \(v(p) = \text{vero}\)
- \(v(q) = \text{falso}\)
La formula \(p \lor q\): \(v(p) = \text{vero}\) rende \(p \lor q\) vero. Quindi \(v \vDash p \lor q\).
La formula \(\neg q\): \(v(q) = \text{falso}\), quindi \(\neg q = \text{vero}\). Anche questa è soddisfatta.
Poiché \(v\) soddisfa entrambe le formule di \(X\), posso concludere che \(v \vDash X\).
Questo è esattamente ciò che l’enunciato afferma: soddisfare l’intero insieme è equivalente a soddisfare ogni formula al suo interno.
E così via.