Insieme di verità
L’insieme di verità è il sottoinsieme del dominio che rende vero un enunciato aperto.
Quando lavoro con un enunciato aperto, cioè una proposizione che contiene almeno una variabile (ad esempio "x > 5"), non posso subito dire se è vera o falsa.
Tutto dipende dal valore che attribuisco alla variabile (o alle variabili se ce ne sono più di una).
Per questo, è necessario chiarire la differenza tra due concetti fondamentali: dominio e insieme di verità.
- Il dominio è l’insieme di tutti i valori che la variabile può assumere. In pratica, è lo “spazio” in cui la variabile si muove.
Ad esempio, consideriamo l’enunciato aperto: $$ x > 5 $$ Se specifico che x è un numero naturale, allora il dominio è ℕ.
- L'insieme di verità è il sottoinsieme del dominio formato dai soli valori che rendono vero un enunciato.
Ad esempio, se l'enunciato è $$ x > 5 $$ l'insieme di verità è composto solo da quei numeri naturali che soddisfano la condizione "x > 7". In questo caso, i numeri naturali che sono maggiori di 5 sono: 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Quindi, l’insieme di verità è: $$ \{ x ∈ ℕ | x > 5 \} $$
Quindi, l’insieme di verità è lo strumento che mi permette di capire quando un enunciato aperto diventa una proposizione vera.
Si costruisce partendo dal dominio, selezionando solo i valori che funzionano davvero.
Un esempio pratico
Considero l'enunciato aperto
$$ x^2 = 9 $$
Specifico che il dominio della variabile $ x $ è l'insieme dei numeri interi ℤ.
Per trovare l'insieme di verità, devo cercare quali valori interi rendono vera la frase “x² = 9”
In questo caso le soluzioni sono x = 3 e x = -3. Quindi, l'insieme di verità è
$$ \{ x ∈ ℤ | x = 3 \ o \ x = - 3 \} $$
Esempio 2
Il concetto di insieme di verità può essere applicato anche a un enunciato condizionale, come questo:
"Se piove, prendo l’ombrello"
Qui la variabile implicita è il tempo atmosferico, cioè se piove oppure no. Posso chiamare questa variabile $ p $.
Il comportamento descritto (“prendo l’ombrello”) è la conseguenza ( $ q $ ).
- p = "piove"
- q = "prendo l'ombrello"
Entrambe le variabili hanno come dominio i valori vero e falso.
Secondo la logica proposizionale, un enunciato del tipo "Se p allora q" è falso solo in un caso, cioè quando piove (p è vera), ma non prendo l’ombrello (q è falsa).
In tutti gli altri casi, è considerato vero.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
p & q & p \rightarrow q \\
\hline
\text{V} & \text{V} & \text{V} \\
\text{V} & \text{F} & \text{F} \\
\text{F} & \text{V} & \text{V} \\
\text{F} & \text{F} & \text{V} \\
\hline
\end{array}
\]
Ad esempio, quando piove(\( p = \text{V} \)) e prendo l’ombrello (\( q = \text{V} \)), l’enunciato è vero.
Quando piove (\( p = \text{V} \)) e non prendo l’ombrello (\( q = \text{F} \)), l’enunciato è falso. Fin qui... è semplice.
Spesso però non ci si accorge che l'enunciato è vero anche quando non piove (\( p = \text{F} \)), qualunque sia il valore di $ q $ , perché la condizione iniziale non si verifica e quindi non può essere violata, rendendo l’intera frase logicamente vera.
Nota. Nel linguaggio quotidiano siamo portati a interpretare la frase "Se piove, prendo l’ombrello" come se implicasse anche il contrario, cioè "Se non piove, non prendo l’ombrello". Ma nella logica formale non è così: l’enunciato condizionale riguarda solo i casi in cui la condizione si verifica.
Quindi, l’insieme di verità dell'enunciato è formato dai casi in cui \( p \rightarrow q \) è vero, ovvero:
\[ \{ (p = \text{V}, q = \text{V}),\ (p = \text{F}, q = \text{V}),\ (p = \text{F}, q = \text{F}) \} \]
In parole povere, l'enunciato è vero in tutti i casi tranne quello in cui piove ma non prendo l’ombrello.
E così via.
