Variabili metateoriche

Le variabili metateoriche sono simboli, solitamente indicati con \(A, B, C, \ldots\), che vengono utilizzati per rappresentare le forme proposizionali qualsiasi senza specificare la loro struttura sintattica, in un contesto teorico o astratto.

Sono strumenti della metateoria, ovvero del linguaggio utilizzato per parlare della teoria logica stessa.

Le variabili metateoriche non rappresentano specifiche proposizioni o forme proposizionali, ma servono a ragionare in modo generale.

Sono utilizzate per enunciare proprietà, regole o schemi che riguardano tutte le forme proposizionali possibili, senza fare riferimento a casi specifici. 

Sono quindi fondamentali per formalizzare e generalizzare le regole della logica.

Ad esempio, \(A\) può essere qualsiasi forma proposizionale, come \(p \land q\) o \(p \to (q \lor r)\). Non importa. Il simbolo \( A \) mi permette però di scrivere delle formule (o schemi di formule) e affermare delle regole o delle proprietà generali come: "Se \(A\) e \(B\) sono forme proposizionali, allora \(A \land B\) è una forma proposizionale" dove \(A\) e \(B\) sono variabili metateoriche. Non importa quale forma proposizionale abbiano, questa regola è sempre valida.

Qual è la differenza con le lettere proposizionali?

Le lettere proposizionali (\(p, q, r, \ldots\)) rappresentano proposizioni semplici nel linguaggio oggetto, ovvero il linguaggio interno alla teoria logica, a cui posso assegnare un valore di verità: vero o falso.

Le variabili metateoriche (\(A, B, C, \ldots\)), invece, sono usate a livello meta per rappresentare qualsiasi forma proposizionale, cioè intere espressioni costruite nel linguaggio oggetto.

Esempio pratico

Voglio enunciare una proprietà valida per tutte le forme proposizionali:

"Se \(A \to B\) è una forma proposizionale, allora anche \(\neg(A \to B)\) è una forma proposizionale".

In questa formula le lettere \(A\) e \(B\) sono due variabili metateoriche che rappresentano forme proposizionali arbitrarie.

La formula vale indipendentemente da cosa siano concretamente \(A\) e \(B\).

Ad esempio, le variabili \( A \) e \( B \)  possono avere come forma sintattica \(p \land q\) oppure \(p \to (q \lor r)\) o qualsiasi altra. Non è importante. Il significato della formula è sempre lo stesso.

E così via.