Legge distributiva della congiunzione sulla disgiunzione
La legge distributiva della congiunzione (∧) sulla disgiunzione (∨) stabilisce che una congiunzione applicata a una disgiunzione può essere “distribuita” su ciascun termine della disgiunzione. $$ A \land (B \vee C) \;\leftrightarrow\; (A \land B) \;\vee\; (A \land C) $$
In altre parole, la congiunzione “entra” nella parentesi e si applica a entrambi i termini della disgiunzione logica.
La legge distributiva stabilisce un’equivalenza sempre, a prescindere dai valori di verità.
Perché è utile? Questa legge è fondamentale per semplificare espressioni logiche. E' molto usata nella progettazione dei circuiti digitali e nella dimostrazione dei teoremi nella logica matematica
Un esempio pratico
Considero queste proposizioni:
- A = “Domani studio”
- B = “Leggo il libro di matematica”
- C = “Faccio gli esercizi”
L’espressione:
$$ A \land (B \vee C) $$
Questo significa
“Domani studio e leggo il libro di matematica o faccio gli esercizi”.
Applicando la legge distributiva ottengo:
$$ (A \land B) \vee (A \land C) $$
cioè
“Domani studio e leggo il libro di matematica, oppure domani studio e faccio gli esercizi”
Le due forme sono logicamente equivalenti: danno lo stesso risultato in termini di verità.
Esempio 2
Considero tre proposizioni logiche $ A $, $ B $ e $ C $.
Poi confronto i valori di verità delle espressioni.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & A \land (B \lor C) & (A \land B) \lor (A \land C) \\
\hline
V & V & V & V & V \\
\hline
V & V & F & V & V \\
\hline
V & F & V & V & V \\
\hline
V & F & F & F & F \\
\hline
F & V & V & F & F \\
\hline
F & V & F & F & F \\
\hline
F & F & V & F & F \\
\hline
F & F & F & F & F \\
\hline
\end{array}
$$
Come si vede dalla tabella di verità, $A \land (B \lor C)$ e $(A \land B) \lor (A \land C)$ hanno sempre lo stesso valore di verità.
In pratica, la legge distributiva è verificata in tutti i casi possibili.
E così via.
