Modus ponens
Il modus ponens è una regola di ragionamento logico in cui si giunge a una conclusione per deduzione dopo aver posto (ponens) una verità in una proposizione $$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \rightarrow B $$ oppure $$ ( A \rightarrow B ) ∧ A \ ⊢ \ B $$ Dove ⊢ è il simbolo dell'asserzione logica
In altre parole, è una regola di inferenza della logica proposizionale che consente di dedurre la verità di una proposizione \( B \) a partire da due premesse:
- una premessa stabilisce una relazione di implicazione logica tra due proposizioni (\( A \rightarrow B \))
- l’altra premessa afferma la verità della proposizione \( A \).
Formalmente, se \( A \rightarrow B \) è vero e \( A \) è vero, allora \( B \) è necessariamente vero.
Nota. Il modus ponens è solo una delle numerose regole di inferenza per costruire ragionamenti logici. Ogni regola ha una funzione specifica e un’applicazione particolare, come ad esempio il modus tollens. In un sistema deduttivo, è possibile combinare diverse regole di inferenza per sviluppare catene di ragionamento più articolate. È molto comune usare più regole di inferenza in un sistema deduttivo, perché i ragionamenti complessi raramente si limitano a un singolo passo logico.
Come funziona
Considero una implicazione logica
$$ A \rightarrow B $$
Dove la proposizione A è detta antecedente mentre la proposizione B è detta conseguente.
Il modus ponens è un ragionamento deduttivo che a partire da una implicazione A→B e dalla sua antecedente A deduce la conseguente B
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \rightarrow B $$
Quando le due premesse A→B e A sono vere, deduco che anche la proposizione B detta conseguenza è vera.
Le premesse del modus ponens sono dette
- Asserzione condizionale (A→B)
L'implicazione A→B (se A allora B) è vera - Ipotesi (A)
L'ipotesi A dell'asserzione condizionale è vera
Nota. Il ragionamento deduttivo posso rappresentarlo anche con una linea, indicando le due premesse sopra una linea e la conclusione (conseguenza) sotto la linea. $$ \frac{ A→B \\ \ \ \ \ \ A }{ B} $$ Si legge se A→B e A sono vere allora anche B è vera. In alcuni testi il modus ponens è indicato anche con l'abbreviazione MP.
La tavola di verità del modus pones è la seguente
$$ \begin{array}{cr|c|c} A→B & A & B = (A→B)∧A \\ \hline V & V & V \end{array} $$
Il modus ponens è anche detto principio di disgiunzione, ragionamento diretto o affermazione dell'antecedente.
Un esempio pratico
Considero vera l'implicazione
"Se Socrate è un uomo allora Socrate è mortale"
In termini formali la proposizione antecedente è A="Socrate è un uomo" mentre la proposizione conseguente è B="Socrate è mortale"
$$ ( A \rightarrow B ) $$
Ipotizzo che sia vera anche la proposizione antecedente A
"Socrate è un uomo"
In termini formali la proposizione composta dalla seguente congiunzione logica (A→B)∧A è vera
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \rightarrow B $$
Dunque, per deduzione giungo alla conclusione che anche la proposizione conseguente B è vera
"Socrate è mortale"
E' un esempio classico di deduzione logica perché giungo a una conclusione vera a partire da premesse vere.
Esempio 2
Considero vera l'implicazione
"Se piove allora la strada è bagnata"
In termini formali A="piove" e B="la strada è bagnata"
$$ ( A \rightarrow B ) $$
Poi affermo una verità (A è vera)
"piove"
In termini formali la proposizione composta dalla seguente congiunzione logica è vera
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A $$
Pertanto, per deduzione giungo alla conclusione che anche B è vera
"dunque la strada è bagnata"
In termini formali
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \rightarrow B $$
E' un altro esempio di deduzione logica.
Nota. La prima freccia (→) indica il connettivo logico dell'implicazione materiale mentre la seconda freccia indica la deduzione ossia un ragionamento. Pertanto, lo stesso simbolo indica due aspetti diversi. $$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \rightarrow B $$ Per evitare confusione, spesso si usa una freccia più grande (⇒) per indicare la deduzione. Il simbolo ⇒ viene letto "si deduce che" $$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ A \Rightarrow B $$ Si legge se A→B e A sono vere si deduce che B è vera. Per un approfondimento sulla questione rimando agli appunti sulla differenza tra implicazione e deduzione.
Osservazioni
Alcune osservazioni utili sulla deduzione
- Il modus ponens (deduzione) e l'implicazione materiale non sono la stessa cosa. Le tavole di verità sono diverse.
- Nel caso della deduzione è necessario dimostrare che le premesse siano effettivamente vere, perché da premesse false si può giungere a una conclusione formalmente corretta ma falsa.
Esempio. La premessa "Se la strada è bagnata allora piove" è falsa perché la strada potrebbe essere bagnata per altri motivi (es. pulizia della strada, guasto alle tubature, ecc.). Considerando vera questa premessa, se la strada è bagnata potrei giungere alla conclusione che stia piovendo. La conclusione è formalmente corretta ma non è detto che sia anche vera.
E così via.
