Regole di inferenza

Le regole di deduzione sono principi logici che servono a derivare nuove proposizioni da quelle già considerate vere, come assiomi o proposizioni precedenti.

In pratica, sono i binari su cui corre il ragionamento per garantire che ogni passo sia corretto.

Ogni sistema deduttivo ha le sue regole, ma alcune sono universali. Ecco due esempi fondamentali:

Modus Ponens
Questa regola permette di concludere che la proposizione $ B $ è vera se $ A $ è vera.
$$ \frac{A \to B \quad A}{B} $$
Si basa su due premesse:
- $ A \to B $ (se $ A $ allora $ B $)
- $ A $ (cioè $ A $ è vero)
Esempio. Considero due premesse
- Premessa 1: "Se oggi studio, allora passo l'esame" ($ A \to B $)
- Premessa 2: "Oggi studio" ($ A $).
La proposizione $ A $ è vera. Quindi, nel modus ponens grazie alla prima premessa ($ A \to B $) deduco che la proposizione $ B $ è vera, ossia "Passo l'esame".
Modus Tollens
Questa regola di inferenza mi consente di concludere che $ A $ è falsa ( $ \neg A $ ) se anche $ B $ è falsa ( $ \neg B $ ).
$$ \frac{A \to B \quad \neg B}{\neg A} $$
Si basa su due premesse:
- $ A \to B $ (se $ A $ allora $ B $)
- $ \neg B $ (cioè $ B $ è falso)
Esempio. Considero due premesse
- Premessa 1: "Se piove, allora prendo l'ombrello" ($ A \to B $)
- Premessa 2: "Non ho preso l'ombrello" ($ \neg B $).
La proposizione $ B $ è falsa: "Non ho preso l'ombrello"'. Quindi, grazie alla prima premessa ($ A \to B $) nel modus tollens deduco che anche la proposizione $ A $ è falsa ovvero "Non piove".

Queste sono le principali regole di inferenza, quelle più utilizzate. Oltre a queste ne esistono molte altre.

Ci sono altre regole perché i ragionamenti umani (e quelli formali) so’ un po’ più complicati di "se piove, prendo l’ombrello".

La logica ha bisogno de strumenti diversi a seconda delle situazioni.

Ecco alcuni esempi di altre regole di inferenza

Regola dell’eliminazione della congiunzione (Simplification)
Questa regola serve quando ho una proposizione composta, tipo $ A \land B $ (cioè "A e B"). Con questa regola posso dedurre che sia $ A $ sia $ B $ sono veri.
Esempio:
- Premessa: "Oggi studio e bevo il caffè" ($ A \land B $).
- Concludo: "Oggi studio" ($ A $) e "Bevo il caffè" ($ B $).
Regola dell'Introduzione della congiunzione (Conjunction)
L’opposto della precedente: se ho $ A $ e $ B $ separati, posso combinarli in $ A \land B $.
Esempio:
- Premessa 1: "Oggi studio" ($ A $).
- Premessa 2: "Bevo il caffè" ($ B $).
Concludo: "Oggi studio e bevo il caffè" ($ A \land B $).
Dilemma disgiuntivo (Disjunctive Syllogism)
In questo caso si lavora su una disgiunzione $ A \lor B $ (cioè "A o B"). Se una è falsa, deduco che l’altra è vera.
Esempio:
- Premessa 1: "Oggi studio o vado al bar" ($ A \lor B $).
- Premessa 2: "Non vado al bar" ($ \neg B $).
- Concludo: "Oggi studio" ($ A $).
Legge dell’aggiunta (Addition)
Se una proposizione $ A $ è vera, allora posso sempre dire che $ A \lor B $ ("A o B") è vera, anche se $ B $ non so nemmeno cosa sia.
Esempio:
- Premessa: "Oggi studio" ($ A $).
- Concludo: "Oggi studio o vinco alla lotteria" ($ A \lor B $).
Regola della contraddizione (Reductio ad Absurdum)
Si usa per dimostrare che una proposizione è falsa, mostrando che se fosse vera porterebbe a una contraddizione.

Queste regole mi permettono di coprire più situazioni in un sistema deduttivo.

E così via.