Regole di inferenza
Le regole di deduzione sono principi logici che servono a derivare nuove proposizioni da quelle già considerate vere, come assiomi o proposizioni precedenti.
In pratica, sono i binari su cui corre il ragionamento per garantire che ogni passo sia corretto.
Ogni sistema deduttivo ha le sue regole, ma alcune sono universali. Ecco due esempi fondamentali:
- Modus Ponens
Questa regola permette di concludere che la proposizione \( B \) è vera se \( A \) è vera.$$ \frac{A \to B \quad A}{B} $$
Si basa su due premesse:- \( A \to B \) (se \( A \) allora \( B \))
- \( A \) (cioè \( A \) è vero)
Esempio. Considero due premesse
- Premessa 1: "Se oggi studio, allora passo l'esame" (\( A \to B \))
- Premessa 2: "Oggi studio" (\( A \)).
La proposizione \( A \) è vera. Quindi, nel modus ponens grazie alla prima premessa (\( A \to B \)) deduco che la proposizione \( B \) è vera, ossia "Passo l'esame".
- Modus Tollens
Questa regola di inferenza mi consente di concludere che \( A \) è falsa ( \( \neg A \) ) se anche \( B \) è falsa ( \( \neg B \) ).$$ \frac{A \to B \quad \neg B}{\neg A} $$
Si basa su due premesse:- \( A \to B \) (se \( A \) allora \( B \))
- \( \neg B \) (cioè \( B \) è falso)
Esempio. Considero due premesse
- Premessa 1: "Se piove, allora prendo l'ombrello" (\( A \to B \))
- Premessa 2: "Non ho preso l'ombrello" (\( \neg B \)).
La proposizione \( B \) è falsa: "Non ho preso l'ombrello"'. Quindi, grazie alla prima premessa (\( A \to B \)) nel modus tollens deduco che anche la proposizione \( A \) è falsa ovvero "Non piove".
Queste sono le principali regole di inferenza, quelle più utilizzate. Oltre a queste ne esistono molte altre.
Ci sono altre regole perché i ragionamenti umani (e quelli formali) so’ un po’ più complicati di "se piove, prendo l’ombrello".
La logica ha bisogno de strumenti diversi a seconda delle situazioni.
Ecco alcuni esempi di altre regole di inferenza
- Regola dell’eliminazione della congiunzione (Simplification)
Questa regola serve quando ho una proposizione composta, tipo \( A \land B \) (cioè "A e B"). Con questa regola posso dedurre che sia \( A \) sia \( B \) sono veri.Esempio:
- Premessa: "Oggi studio e bevo il caffè" (\( A \land B \)).
- Concludo: "Oggi studio" (\( A \)) e "Bevo il caffè" (\( B \)). - Regola dell'Introduzione della congiunzione (Conjunction)
L’opposto della precedente: se ho \( A \) e \( B \) separati, posso combinarli in \( A \land B \).Esempio:
- Premessa 1: "Oggi studio" (\( A \)).
- Premessa 2: "Bevo il caffè" (\( B \)).
Concludo: "Oggi studio e bevo il caffè" (\( A \land B \)). - Dilemma disgiuntivo (Disjunctive Syllogism)
In questo caso si lavora su una disgiunzione \( A \lor B \) (cioè "A o B"). Se una è falsa, deduco che l’altra è vera.Esempio:
- Premessa 1: "Oggi studio o vado al bar" (\( A \lor B \)).
- Premessa 2: "Non vado al bar" (\( \neg B \)).
- Concludo: "Oggi studio" (\( A \)). - Legge dell’aggiunta (Addition)
Se una proposizione \( A \) è vera, allora posso sempre dire che \( A \lor B \) ("A o B") è vera, anche se \( B \) non so nemmeno cosa sia.Esempio:
- Premessa: "Oggi studio" (\( A \)).
- Concludo: "Oggi studio o vinco alla lotteria" (\( A \lor B \)). - Regola della contraddizione (Reductio ad Absurdum)
Si usa per dimostrare che una proposizione è falsa, mostrando che se fosse vera porterebbe a una contraddizione.
Queste regole mi permettono di coprire più situazioni in un sistema deduttivo.
E così via.