Dominio di una variabile

Il dominio della variabile è l’insieme di tutti i valori che una variabile logica o matematica può assumere affinché l’espressione o l’equazione in cui compare abbia senso.

In termini più concreti, è l’insieme entro cui posso cercare le soluzioni di un'equazione o valutare la correttezza di un enunciato logico-matematico aperto.

Cos'è un enunciato aperto?

Un enunciato aperto è una proposizione che contiene una o più variabili e che diventa vera o falsa solo quando si assegna un valore alla variabile.

Ad esempio, ecco un enunciato aperto

$$ x^2 - 4 = 0 $$

Questo enunciato diventa vero solo per certi valori di $ x $. Per decidere quali sono, devo sapere quali valori può assumere $ x $. Questo è il dominio.

In questo caso il dominio è $ \mathbb{R} $ ossia l'insieme dei numeri reali.

La differenza tra dominio e insieme di verità. Questi due concetti non vanno confusi. Il dominio è l'insieme di tutti i valori che una variabile può assumere. L'insieme di verità, invece, è l'insieme dei valori che rendono vero l'enunciato. Quindi, l'insieme di verità è un sottoinsieme del dominio. Ad esempio, nell'equazione $ x^2 - 4 = 0 $ l'insieme di verità è composto da due numeri $ \{ 2, -2 \} $ cioé daile soluzioni dell'equazione.

Lo stesso vale per le variabili logiche.

Ad esempio, considero l’enunciato aperto:

“Se $ p $, allora $ q $”

Dove una variabile logica è $ p $ = “piove” e l'altra è $ q $ = "prendo l’ombrello".

Qui la variabile logica $ p $ può assumere solo due valori:

$ V $ (vero) → piove
$ F $ (falso) → non piove

Lo stesso vale per la variabile logica $ q $

$ V $ (vero) → prendo l'ombrello
$ F $ (falso) → non prendo l'ombrello

Quindi il dominio della variabile $ p $ è $ \{V, F\} $ cioè l’insieme dei valori di verità: vero o falso.

Anche la variabile $ q $ ha come dominio l'insieme $ \{V, F\} $.

Nota. L'insieme di verità dell'enunciato è composto dai valori che rendono vero l'enunciato “Se $ p $, allora $ q $”. In questo caso ci sono due variabili, quindi per ottenerlo devo costruire una piccola tabella di verità: \[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathbf{p\ (\text{piove})} & \mathbf{q\ (\text{prendo l'ombrello})} & \mathbf{\text{Se } p \Rightarrow q} \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & V \\
F & F & V \\
\hline
\end{array}
\] Questa tabella mostra che l’unico caso in cui l’implicazione logica è falsa è quando piove ($ p = V $) ma non prendo l’ombrello ($ q = F $). Tutti gli altri casi rendono l’enunciato vero. Quindi, l'insieme di verità dell'enunciato è $$ \{ (V,V), (F,V), (F,F) \} $$ In altre parole, se piove ($ p = V $), allora prendo l’ombrello e l'enunciato valido. Se non piove ($ p = F $), l’azione “prendere l’ombrello” può anche non verificarsi ma l’implicazione resta comunque valida. Pertanto, è errato dire che l'insieme di verità dell'enunciato è composto solo da $ p=V $. Questo è un tipico esempio di enunciato condizionale in logica proposizionale, dove il dominio è limitato ai due possibili stati della variabile logica.

Quando serve precisare il dominio?

In molti casi, il dominio è implicito e non va specificato. Se non ci sono particolari limitazioni, si assume che la variabile può assumere qualsiasi valore reale.

Ad esempio, nell'enunciato $ x^2 - 4 = 0 $ il dominio di $ x $ è tutto $ \mathbb{R} $, perché non ci sono restrizioni.

Ma in altre situazioni il dominio va determinato con attenzione, soprattutto quando nell'enunciato compaiono:

Frazioni: perché non si può dividere per 0.
Ad esempio, considero l'enunciato aperto $$ \frac{1}{x - 3} $$ Qui il dominio è l'insieme dei numeri reali tranne il numero 3 $$ \mathbb{R} \setminus \{3\} $$ Questo perché $ x = 3 $ rende il denominatore nullo, cosa non ammessa.
Radici pari: perché non si può estrarre la radice quadrata di un numero negativo nei reali.
Ad esempio, ecco un enunciato aperto con una radice quadrata. $$ \sqrt{x - 2} $$ In questo caso il dominio è composto da ogni numero reale maggiore o uguale a 2. $$ x \geq 2 $$ Perché la radice quadrata è definita solo per numeri maggiori o uguali a zero.
Logaritmi: perché non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo o nullo.
In questo esempio ho un enunciato aperto con un logaritmo. $$ \log(x - 1) $$ Qui il dominio è semplicemente ogni numero maggiore di 1 $$ x > 1 $$ Perché il logaritmo è definito solo per argomenti strettamente positivi.

Perché è importante specificare il dominio?

Determinare il dominio di una variabile è il primo passo per studiare qualsiasi funzione o risolvere qualsiasi equazione.

Ignorarlo può portare a errori, come considerare soluzioni che in realtà non sono ammissibili.

Ad esempio, se devo risolvere l'equazione seguente:

$$ \frac{x+2}{x-1} = 0 $$

E' facile trovare che $ x = -2 $ soddisfa l'equazione, ma bisogna anche ricordare che $ x = 1 $ non è nel dominio e quindi va escluso fin dall’inizio.

In conclusione, prima di manipolare un’equazione o studiare una funzione, bisogna sempre chiedersi: “Quali sono i valori ammessi per la variabile?”.

Solo così si costruisce un ragionamento logico-matematico corretto, solido e coerente ...e si evitano errori banali.

E così via.