La condizione necessaria è sufficiente

Nel mondo della logica e del ragionamento, ma anche in matematica, spesso si incontrano termini astratti come "condizione necessaria e sufficiente". Per spiegarlo è necessario prima stabilire cos'è una condizione.

Cos'è una condizione?

Una "condizione" è un requisito che deve essere soddisfatto affinché qualcosa accada o sia vero.

Detto questo, cerchiamo di capire le differenze tra una condizione necessaria, una condizione sufficiente e una condizione necessaria e sufficiente.

Condizione necessaria

La condizione necessaria è una condizione che deve essere soddisfatta affinché un certo evento si verifichi o una certa affermazione sia vera. Tuttavia, da sola non garantisce l'evento o la verità dell'affermazione.

In altre parole, è una condizione indispensabile (necessaria) ma non è sempre sufficiente a ottenere un determinato risultato o evento.

• se soddisfatta, l'evento potrebbe verificarsi oppure no
• se non soddisfatta, l'evento non si verifica

Pertanto, non è detto che una condizione necessaria sia anche sufficiente.

Esempio

Un esempio di condizione necessaria è la proposizione seguente:

"Per avere un diploma di scuola superiore, è necessario aver frequentato l'ultimo anno di scuola."

Si tratta di una condizione necessaria, perché non puoi avere un diploma di scuola superiore senza aver frequentato l'ultimo anno.

Tuttavia, è una condizione necessaria ma non sufficiente, perché frequentare l'ultimo anno non garantisce automaticamente che tu riceva un diploma. Potresti anche essere bocciato e dover ripetere l'anno.

Dal punto di vista logico-matematico, si può scrivere che A è una condizione necessaria di B, se la negazione di A implica la negazione di B $$ ¬A \Rightarrow ¬B $$ In altre parole, se A non si verifica (è falsa) allora anche B non si verifica (è falsa).

Quando A si verifica (è vera), invece, non posso affermare nulla su B con certezza. $$ A \rightarrow \begin{cases} B \\ \\ ¬B \end{cases} $$

Condizione sufficiente

Una condizione sufficiente è un requisito che, se soddisfatto, garantisce che un evento si verifica o che una certa affermazione è vera. Tuttavia, la sua assenza non esclude che l'evento possa comunque verificarsi.

In altre parole, è una condizione sufficiente ma non necessaria per ottenere un certo risultato o evento

• se soddisfatta, l'evento si verifica
• se non soddisfatta, l'evento potrebbe verificarsi oppure no

Pertanto, non è detto che una condizione sufficiente sia anche necessaria.

Esempio

Un esempio di condizione sufficiente è la proposizione seguente:

"Se piove, la strada davanti casa è bagnata."

E' una condizione sufficiente, perché la pioggia bagna sicuramente la strada davanti casa.

In questo esempio, considero implicito che la strada non si trovi in un tunnel o galleria, perché è davanti a una casa.

Tuttavia, è una condizione sufficiente ma non necessaria perché, anche se non piove, la strada potrebbe bagnarsi per altre ragioni.

Ad esempio, la strada potrebbe bagnarsi perché esonda il fume, si rompe una conduttura dell'acqua, stanno lavando la strada, ecc.

Dal punto di vista logico-matematico, si può scrivere che A è una condizione sufficiente di B, se A implica B $$ A \Rightarrow B $$ Questo però non esclude che B possa verificarsi per altri motivi. Ad esempio, anche C implica B. $$ C \Rightarrow B $$ Quindi B si verifica sicuramente quando si verifica A oppure C o entrambe.

Condizione necessaria e sufficiente

In altre parole, la condizione è sia necessaria (essenziale) che sufficiente affinché un risultato o evento si verifichi.

• se soddisfatta, l'evento si verifica
• se non soddisfatta, l'evento non si verifica

Esempio

Un esempio di condizione necessaria e sufficiente è la proposizione seguente:

"Se una persona non è sposata, allora è celibe"

E' una condizione necessaria, perché per essere celibe è necessario che la persona non sia sposata.

E' anche una condizione sufficiente, perché se una persona è celibe allora non è sicuramente sposata.

Non esistono altre possibilità per cui una persona possa essere celibe.

Dal punto di vista logico-matematico, si può scrivere che A è una condizione necessaria è sufficiente di B, se A implica B e B implica A $$ \begin{cases} A \Rightarrow B \\ \\ B \Rightarrow A \end{cases} $$ Per indicare questa relazione biunivoca in matematica $$ A \Leftrightarrow B $$ si utilizza anche il termine "se e solo se".

In conclusione, questa tabella riassume in sintesi quanto detto.

E così via.