Modus tollens

Il modus tollens è una regola di ragionamento logico (inferenza) che giunge a una conclusione dopo aver tolto (tollens) una verità da una proposizione. $$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B \rightarrow ¬A $$

Considero una implicazione logica

$$ A \rightarrow B $$

Dove la proposizione A è detta antecedente mentre la proposizione B è detta conseguente.

Il modus tollens è un ragionamento deduttivo che a partire da una implicazione A→B e dalla negazione conseguente ¬B deduce la negazione dell'antecedente

$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B \rightarrow ¬A $$

Se le due premesse A→B e ¬B sono entrambe vere allora anche la conclusione ¬A è vera.

Nota. Il modus tollens si rappresenta anche tracciando una linea. Nella parte superiore della linea indico le due premesse e nella parte inferiore la conclusione. $$ \frac{ A→B \\ \ \ \ \ ¬B }{ ¬A} $$ In alcuni testi il modus tollens è indicato anche con l'abbreviazione MT.

Questa è la tavola di verità del modus tollens

$$ \begin{array}{cr|c|c} A→B & ¬B & ¬A = (A→B)∧¬B \\ \hline V & V & V \end{array} $$

Nel modus tollens

  • la proposizione antecedente A è una condizione sufficiente per B
  • la proposizione conseguente B è una condizione necessaria per A

Un esempio pratico

Considero l'implicazione A→B vera

"Se è giorno, c'è luce"

Dove "è giorno" è la proposizione antecedente (A) mentre "c'è luce" è la proposizione conseguente. (B)

$$ A \rightarrow B $$

Considero vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente

"Non c'è luce"

Le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono entrambe vere.

Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens

$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$

La conclusione ¬A è la negazione della proposizione A antecedente A dell'implicazione

"Dunque non è giorno"

Esempio 2

Considero vera l'implicazione A→B

"Se il triangolo è isoscele, il triangolo ha due angoli congruenti"

Dove "il triangolo è isoscele" è la proposizione antecedente (A) mentre "il triangolo ha due angoli congruenti" è la proposizione conseguente. (B)

$$ A \rightarrow B $$

Ipotizzo che sia vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente

"il triangolo NON ha due angoli congruenti"

Entrambe le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono vere.

Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens

$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$

La conclusione ¬A è la negazione della proposizione A antecedente A dell'implicazione

"il triangolo NON è isoscele"

Esempio 2

Considero vera l'implicazione A→B

"Se Giove è mortale allora Giove è un uomo"

Dove "Giove è mortale" è la proposizione antecedente (A) e "Giove è un uomo" è la proposizione conseguente. (B)

$$ A \rightarrow B $$

Ipotizzo che sia vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente

"Giove NON è un uomo"

Entrambe le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono vere.

Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens

$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$

La conclusione ¬A è la negazione della proposizione antecedente A dell'implicazione

"Giove NON è un uomo"

Osservazioni

Alcune osservazioni sul modus tollens

  • Il modus tollens è logicamente equivalente al modus ponens. L'implicazione A→B è equivalente a ¬B → ¬A. Se considero vere le premesse ¬B → ¬A e ¬B vere, nel modus ponens ottengo che anche la conclusione ¬A è vera.

E così via.

 


 

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