Modus tollens
Il modus tollens è una regola di ragionamento logico (inferenza) che giunge a una conclusione dopo aver tolto (tollens) una verità da una proposizione. $$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B \rightarrow ¬A $$
Considero una implicazione logica
$$ A \rightarrow B $$
Dove la proposizione A è detta antecedente mentre la proposizione B è detta conseguente.
Il modus tollens è un ragionamento deduttivo che a partire da una implicazione A→B e dalla negazione conseguente ¬B deduce la negazione dell'antecedente
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B \rightarrow ¬A $$
Se le due premesse A→B e ¬B sono entrambe vere allora anche la conclusione ¬A è vera.
Nota. Il modus tollens si rappresenta anche tracciando una linea. Nella parte superiore della linea indico le due premesse e nella parte inferiore la conclusione. $$ \frac{ A→B \\ \ \ \ \ ¬B }{ ¬A} $$ In alcuni testi il modus tollens è indicato anche con l'abbreviazione MT.
Questa è la tavola di verità del modus tollens
$$ \begin{array}{cr|c|c} A→B & ¬B & ¬A = (A→B)∧¬B \\ \hline V & V & V \end{array} $$
Nel modus tollens
- la proposizione antecedente A è una condizione sufficiente per B
- la proposizione conseguente B è una condizione necessaria per A
Un esempio pratico
Considero l'implicazione A→B vera
"Se è giorno, c'è luce"
Dove "è giorno" è la proposizione antecedente (A) mentre "c'è luce" è la proposizione conseguente. (B)
$$ A \rightarrow B $$
Considero vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente
"Non c'è luce"
Le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono entrambe vere.
Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$
La conclusione ¬A è la negazione della proposizione A antecedente A dell'implicazione
"Dunque non è giorno"
Esempio 2
Considero vera l'implicazione A→B
"Se il triangolo è isoscele, il triangolo ha due angoli congruenti"
Dove "il triangolo è isoscele" è la proposizione antecedente (A) mentre "il triangolo ha due angoli congruenti" è la proposizione conseguente. (B)
$$ A \rightarrow B $$
Ipotizzo che sia vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente
"il triangolo NON ha due angoli congruenti"
Entrambe le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono vere.
Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$
La conclusione ¬A è la negazione della proposizione A antecedente A dell'implicazione
"il triangolo NON è isoscele"
Esempio 2
Considero vera l'implicazione A→B
"Se Giove è mortale allora Giove è un uomo"
Dove "Giove è mortale" è la proposizione antecedente (A) e "Giove è un uomo" è la proposizione conseguente. (B)
$$ A \rightarrow B $$
Ipotizzo che sia vera anche la negazione ¬B della proposizione conseguente
"Giove NON è un uomo"
Entrambe le premesse del modus tollens A→B e ¬B sono vere.
Quindi è vera anche la conclusione ¬A del modus tollens
$$ ( A \rightarrow B ) \ ∧ \ ¬B = ¬A $$
La conclusione ¬A è la negazione della proposizione antecedente A dell'implicazione
"Giove NON è un uomo"
Osservazioni
Alcune osservazioni sul modus tollens
- Il modus tollens è logicamente equivalente al modus ponens. L'implicazione A→B è equivalente a ¬B → ¬A. Se considero vere le premesse ¬B → ¬A e ¬B vere, nel modus ponens ottengo che anche la conclusione ¬A è vera.
E così via.
