Dimostrazione per assurdo

La dimostrazione per assurdo è un metodo di prova logica che si basa sul ragionamento indiretto: si assume che la tesi da dimostrare sia falsa e, attraverso una serie di passaggi logici, si arriva a una contraddizione.

Poiché la logica impone che una proposizione non può essere vera e falsa contemporaneamente, la contraddizione dimostra che l’ipotesi iniziale era errata e che quindi la tesi originale è vera.

Come funziona?

Il procedimento segue questi passaggi:

Si assume il contrario della tesi che si vuole dimostrare.
Si sviluppano le conseguenze logiche di questa ipotesi.
Si arriva a una contraddizione, cioè a un risultato impossibile o assurdo.
Si conclude che l’ipotesi iniziale è falsa, e quindi la tesi originale è vera.

Quando si usa la dimostrazione per assurdo? Questo metodo è particolarmente utile quando non è facile dimostrare direttamente la tesi. La dimostrazione per assurdo si basa sul fatto che, se un'ipotesi porta a un risultato assurdo o impossibile, allora l’ipotesi stessa deve essere falsa. Quindi, questo prova che indirettamente è vero il contrario dell'ipotesi. Grazie a questo metodo, sono state dimostrate alcune delle affermazioni più importanti della matematica, come l'irrazionalità di certi numeri e la distribuzione infinita dei numeri primi.

Esempi pratici

Esempio 1: L'Irrazionalità di √2

Uno dei più celebri esempi di dimostrazione per assurdo riguarda il numero $ \sqrt{2} $, dimostrando che non può essere un numero razionale cioè non può essere espresso come frazione di due interi.

Per ipotesi assurda suppongo che $ \sqrt{2} $ sia razionale, ossia la tesi contraria.

Questo significa che esistono due numeri interi $ a $ e $ b $ relativamente primi tra loro (coprimi) tali che:

\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]

Elevo entrambi i membri al quadrato:

\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]

Moltiplicando per $ b^2 $, otteniamo:

\[ a^2 = 2b^2 \]

Questo implica che $ a^2 $ è un numero pari perché è multiplo di 2 e, quindi, anche $ a $ deve essere pari, poiché il quadrato di un numero dispari è sempre dispari.

Se $ a $ è pari, posso scriverlo come $ a = 2k $ per un certo intero $ k $, e lo sostituisco nella formula:

\[ (2k)^2 = 2b^2 \]

\[ 4k^2 = 2b^2 \]

\[ 2k^2 = b^2 \]

Questo significa che anche $ b^2 $ è pari, e quindi $ b $ è pari.

Si arriva però a una contraddizione. Ho scoperto che sia $ a $ che $ b $ sono pari, ma avevo supposto che fossero primi tra loro (senza fattori comuni). Questo è impossibile!

In conclusione, l’ipotesi iniziale (che $ \sqrt{2} $ fosse razionale) porta a una contraddizione. Quindi $ \sqrt{2} $ non è razionale, ovvero è un numero irrazionale.

Esempio 2: l'Infinitezza dei numeri primi

Un altro classico esempio di dimostrazione per assurdo è la prova che esistono infiniti numeri primi, attribuita a Euclide.

Si parte dall'ipotesi contraria che i numeri primi siano finiti, e che esista un elenco completo di essi:

\[ p_1, p_2, p_3, ..., p_n \]

Creo un nuovo numero definendolo in questo modo:

\[ N = (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdots p_n) + 1 \]

Questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi della nostra lista, perché lascia sempre resto 1 quando diviso per ciascuno di essi.

C'è però una contraddizione, $ N $ non è divisibile per nessun primo noto, ma ogni numero deve avere almeno un divisore primo.

Questo significa che $ N $ stesso è un nuovo numero primo oppure ha un divisore primo che non appartiene alla nostra lista.

In entrambi i casi l’ipotesi iniziale che i numeri primi fossero finiti è errata.

Quindi è vero il suo contrario, ossia i numeri primi sono infiniti.

Esempio 3

Devo dimostrare che, dato un numero intero $ n $, se $ n^2 $ è dispari, allora $ n+1 $ è pari.

In questo caso l'ipotesi consiste in $ n^2 $ dispari e posso scriverla in questa forma:

$$ n^2 = 2k +1 \ \ \ \ k \in \mathbb{Z} $$

La tesi, invece, consiste in $ n+1 $ pari

$$ n+1 = 2k \ \ \ \ k \in \mathbb{Z} $$

Per dimostrarlo, considero per assurdo la tesi contraria: se $ n^2 $ è dispari, allora $ n+1 $ è dispari.

$$ n+1 = 2k + 1 \ \ \ \ k \in \mathbb{Z} $$

$$ n= 2k + 1 - 1 $$

$$ n= 2k $$

Elevo al quadrato entrambi i membri.

$$ n^2 = (2k)^2 $$

$$ n^2 = 4k^2 $$

$$ n^2 = 2 \cdot (2k^2) $$

Questo significa che $ n^2 $ è pari, perché qualsiasi numero moltiplicato per due è pari.

Pertanto, si verifica una contraddizione perché l'ipotesi di partenza afferma che $ n^2 $ è dispari.

L'ipotesi per assurdo "se $ n^2 $ è dispari, allora $ n+1 $ è dispari" è falsa.

Quindi è vero il suo contrario: "se $ n^2 $ è dispari, allora $n+1 $ è pari".

E così via.