La logica matematica

Cos'è la logica matematica

La logica matematica è una branca della matematica che utilizza strumenti logici per analizzare e formalizzare i fondamenti del ragionamento matematico.

È un campo interdisciplinare che si colloca tra matematica, logica e filosofia, e il suo scopo principale è quello di studiare le strutture formali, le dimostrazioni, gli assiomi e i modelli matematici, con l’obiettivo di garantire coerenza e precisione nel ragionamento matematico.

In altre parole, consiste nello studio del ragionamento tramite il metodo matematico.

Cos'è il metodo matematico? Seguire il metodo matematico vuol dire sviluppare proposizioni a partire da definizioni e assiomi. Pertanto, traduce la logica in un calcolo matematico.

Per questa ragione, la logica matematica è anche detta calcolo logico o logica simbolica.

Gli strumenti essenziali della logica matematica sono le proposizioni logiche.

Strumenti della logica matematica

La logica matematica si avvale di un linguaggio simbolico rigoroso per evitare ambiguità e garantire precisione.

Alcuni degli strumenti fondamentali includono:

• Connettivi logici: come "e" (∧), "o" (∨), "non" (¬), "se… allora…" (→) per formulare proposizioni complesse.
• Quantificatori: come il quantificatore universale (∀) e quello esistenziale (∃) per esprimere affermazioni su tutti gli elementi di un insieme o sull’esistenza di almeno un elemento con una certa proprietà.
• Assiomi e regole di inferenza: che definiscono il punto di partenza di un sistema formale e le modalità con cui si possono derivare nuovi teoremi.

Dove una proposizione logica è una proposizione logica è un'affermazione che può essere considerata vera o falsa.

Ad esempio, considero questa proposizione logica:

Posso trasformare questa proposizione logica in una forma matematica (A=B).

Il significato della proposizione non cambia. E' sempre lo stesso, sia nella forma letterale, sia nella forma matematica.

Ogni proposizione è associata a un valore di verità ( vero o falso ).

Nota. Due o più proposizioni possono essere legate tra loro tramite il ragionamento deduttivo.

In questo modo, una volta trasformata la proposizione logica in forma matematica, posso elaborarla usando le operazioni di calcolo logico-matematico come la negazione, la congiunzione e la disgiunzione.

• Negazione (¬)
  Inverte il valore di verità di una proposizione. Se una proposizione è vera, la sua negazione sarà falsa e viceversa.
• Congiunzione (∧)
  Collega due proposizioni affermando che entrambe devono essere vere simultaneamente affinché l’intera espressione sia vera. Se anche solo una delle due è falsa, la congiunzione è falsa.
• Disgiunzione (∨)
  Collega due proposizioni affermando che basta che almeno una delle due sia vera affinché l’espressione complessiva sia vera. Solo se entrambe sono false, la disgiunzione risulterà falsa.

Inoltre, posso utilizzare i quantificatori per estendere il ragionamento logico a insiemi più ampi.

• Quantificatore universale (∀)
  Tutti gli elementi di un insieme soddisfano una certa proprietà
• Quantificatore esistenziale (∃)
  Esiste almeno un elemento che soddisfa una determinata condizione

L’applicazione sistematica di queste operazioni logiche e simboli matematici mi permette di costruire dimostrazioni formali, strutturando il ragionamento in modo che ogni passo sia giustificato e derivabile da assiomi o teoremi precedenti.

Nota. Questi strumenti mi permettono di costruire strutture logiche complesse e di verificare la validità di intere sequenze di proposizioni, sfruttando regole come il principio del terzo escluso o il principio di contraddizione. Posso avvalermi anche di strumenti come la deduzione naturale e il calcolo dei predicati, che mi consentono di verificare la validità e la coerenza di argomentazioni matematiche complesse, facendo in modo che le conclusioni siano logicamente corrette e basate su principi fondati.

Le origini della logica matematica

La logica matematica ha radici antiche che risalgono alla logica aristotelica, ma si sviluppò in una forma moderna solo nel XIX e XX secolo grazie a figure come George Boole, Gottlob Frege, Bertrand Russell e David Hilbert.

Questi studiosi cercarono di formalizzare la matematica in modo rigoroso, usando un linguaggio logico simbolico per evitare ambiguità e contraddizioni.

Frege, in particolare, è noto per aver creato il primo sistema logico formale completo con il suo Begriffsschrift nel 1879.

Successivamente, Hilbert propose un approccio assiomatico alla matematica, e Russell, con Alfred North Whitehead, sviluppò il monumentale Principia Mathematica per costruire una base logica per tutta la matematica.

La differenza tra logica e logica matematica. La logica è la scienza del ragionamento. Consiste nello studio del ragionamento tramite il metodo scientifico. La logica nasce nell'antica Grecia con gli studi di Aristotele. Va però specificato che nell'antica Grecia la logica era un argomento di discussione filosofica che non coinvolgeva la scienza, essendo il metodo scientifico ancora lontano da venire. Era affontata perlopiù con la dialettica. La logica matematica è, invece, più recente, nasce quando la logica venne formalizzata nel linguaggio matematico. La logica matematica usa il metodo matematico per studiare la logica o, in modo equivalente, studia il ragionamento matematico. Nella logica matematica la matematica è sia un metodo che un oggetto di studio.

Ambiti e teorie della logica matematica

La logica matematica si divide in diverse aree principali, ognuna con un focus specifico:

1. Teoria degli insiemi
   Studia gli insiemi, che sono raccolte di oggetti matematici, e costituisce la base di gran parte della matematica moderna. Gli insiemi sono utilizzati per definire numeri, funzioni e altre strutture matematiche. È qui che si affrontano problemi come il paradosso di Russell, che evidenziò le difficoltà nel definire insiemi in modo coerente.
2. Teoria dei modelli
   Esamina la relazione tra i linguaggi formali (ossia i sistemi di simboli e regole usati per descrivere teorie matematiche) e le strutture matematiche che questi linguaggi descrivono. Studia come e in che misura un dato sistema assiomatico possa essere interpretato in vari modelli, esplorando l’equivalenza e le differenze tra modelli diversi.
3. Teoria della computabilità
   Indaga quali problemi possono essere risolti in modo algoritmico, e quali no, stabilendo i limiti della computazione. Introduce concetti come le macchine di Turing (introdotte da Alan Turing), che sono modelli teorici di calcolo capaci di eseguire algoritmi. Si collega strettamente alla teoria della complessità, che studia quanto tempo o risorse siano necessarie per risolvere un problema.
4. Teoria della dimostrazione
   Analizza le strutture e le proprietà delle dimostrazioni matematiche, formalizzando il processo di dimostrazione per garantire che le conclusioni dedotte siano logicamente valide. Include lo studio dei teoremi di incompletezza di Gödel, che dimostrarono come, in ogni sistema formale sufficientemente potente, esistano proposizioni che non possono essere né dimostrate né confutate all’interno del sistema stesso.

E così via.