Assiomi

Un assioma è una proposizione considerata vera senza necessità di dimostrazione, utilizzata come base per costruire un sistema logico o matematico.

Si tratta di un principio, accettato universalmente all'interno di un dato contesto, che costituisce il punto di partenza per deduzioni e teoremi.

Spesso è "autoevidente" ma potrebbe anche non esserlo. Potrebbe essere una proposizione che scelgo arbitrariamente per costruire un sistema logico-deduttivo, indipendentemente dal fatto che sia evidente, vera o falsa.

Un esempio di assioma

Un classico esempio di assioma proviene dalla geometria euclidea: "per due punti distinti passa una e una sola retta".

Questa affermazione non necessita di una verifica empirica all’interno del sistema euclideo, ma viene accettata come punto di partenza per derivare altre verità geometriche.

Per fare qualche altro esempio di assioma molto frequente, in logica vale l'assioma seguente: "una proposizione non può essere vera e falsa allo stesso tempo", è anche detto principio di non contraddizione. 

Le caratteristiche degli assiomi

Gli assiomi sono le fondamenta di un sistema deduttivo.

Come in un edificio, la solidità delle fondamenta determina la stabilità dell’intera struttura. Senza assiomi, non esisterebbero le basi per il ragionamento logico o matematico.

Pertanto, devono essere:

• Coerenti: Non devono contraddirsi tra loro.
• Semplici: Chiaramente comprensibili, senza ambiguità.
• Universali: Applicabili in tutti i contesti previsti dal sistema.

Ad esempio, partendo dagli assiomi della geometria, Euclide ha costruito un sistema complesso di teoremi e corollari che hanno influenzato per secoli la scienza e la filosofia.

In ogni caso gli assiomi non sono universalmente "veri" in senso assoluto, piuttosto, sono validi solo all’interno di un contesto specifico o nel sistema deduttivo in cui li utilizzo.

Questo significa che un assioma di un sistema logico o matematico, potrebbe non essere considerato tale anche in altri sistemi deduttivi.

Quindi, non è detto che siano "verità" universali in senso ampio, al di fuori del sistema deduttivo in cui sono utilizzati.

Un esempio classico è il postulato euclideo: "due rette parallele non si incontrano mai". Questo principio è valido nella geometria euclidea ma non in quella non euclidea, come accade sulla superficie curva di una sfera, dove linee apparentemente simili a rette (come i meridiani) convergono ai poli.

In conclusione, la scelta degli assiomi influenza profondamente lo sviluppo di un sistema teorico.

Qual è la differenza tra assioma e postulato?

In origine, i termini "postulato" e "assioma" avevano significati distinti nella filosofia greca:

• Il postulato era una proposizione accettata senza dimostrazione per avviare un ragionamento. Non era necessariamente una verità assoluta (es. i postulati di Euclide).
• L'assioma era una verità fondamentale o autoevidente, considerata universale e indubitabile. In altre parole, una proposizione valida in ogni sistema deduttivo (es. il "Principio di non contraddizione" di Aristotele).

Dopo il XIX secolo: Con lo sviluppo delle geometrie non euclidee, l’evidenza è stata abbandonata, e i termini "postulato" e "assioma" sono diventati sinonimi.

Oggi, entrambi indicano proposizioni accettate all’interno di un sistema logico senza essere dedotte da altre affermazioni.

Questi enunciati, indipendentemente dalla loro verità o falsità, costituiscono la base per dedurre teoremi o teorie, a condizione che siano coerenti e privi di contraddizioni. La scelta è di natura operativa e non richiede necessariamente di essere evidente.

E così via.