I connettivi logici
I connettivi logici mi permettono di costruire una proposizione logica composta (espressione logica).
Un'espressione logica è composta da due o più proposizioni legate tra loro dai connettivi logici.
I connettivi logici sono anche detti operatori logici.
Nota. Alcuni connettivi logici sono binari perché legano tra loro due proposizioni. Ad esempio, la congiunzione e la disgiunzione logica. Altri connettivi sono invece unari perché agiscono su una sola proposizione. Ad esempio la negazione logica.
I principali connettivi logici sono
La congiunzione logica
La congiunzione logica è un connettivo binario perché lega due proposizioni semplici. La proposizione composta dalla congiunzione logica è vera se sono vere entrambe le due proposizioni che la compongono. Il simbolo della congiunzione logica è ∧.
$$ A ∧ B $$
Ecco la tavola di verità della congiunzione logica.
Esempio. La proposizione logica "esco di casa e vado a scuola " è composta da due proposizioni logiche legate tra loro dall'operatore "e" (and). La proposizione è vera solo se sono vere sia la prima proposizione semplice "esco di casa" che la seconda "vado a scuola".
La disgiunzione logica
Esistono due tipi di disgiunzioni logiche
- La disgiunzione logica inclusiva (OR)
La disgiunzione logica inclusiva è un connettivo binario perché lega due proposizioni tra loro. La proposizione composta dalla disgiunzione inclusiva è vera se è vera almeno una delle proposizioni che la compongono. Il simbolo della disgiunzione logica inclusiva è ∨$$ A ∨ B $$
Ecco la tavola di verità della disgiunzione logica inclusiva.
Esempio. La proposizione logica "se piove o grandina domani vado a scuola" è composta da due proposizioni semplici legate tra loro dall'operatore "o" inclusivo (or). La proposizione composta è vera se almeno una delle proposizioni semplici è vera. Non importa quale. Inoltre, l'una non esclude l'altra. Per questo è detta disgiunzione "inclusiva". Se entrambe le proposizioni semplici sono vere "piove e grandina" anche la proposizione composta è vera.
- La disgiunzione logica esclusiva (XOR)
La disgiunzione logica esclusiva è un connettivo binario perché lega due proposizioni. Una proposizione composta tramite la disgiunzione esclusiva è vera se è vera solo una delle proposizioni che la compongono ma non tutte. Se sono vere entrambe, la proposizione composta è falsa. Il simbolo della disgiunzione logica (o XOR) è una v̇ con un punto sopra.$$ A \dot{∨} B $$
Questa è la tavola di verità della disgiunzione logica esclusiva messa a confronto con quella inclusiva.
Esempio. La proposizione logica "domani resto a casa o vado a scuola" è composta da due proposizioni logiche legate tra loro dall'operatore "o" esclusivo (xor). La proposizione composta è vera solo se una delle due proposizioni semplici è vera. Se entrambe le proposizioni semplici sono vere, la proposizione composta è falsa perché l'una esclude l'altra. Per questo è detta disgiunzione "esclusiva". Se resto a casa non vado a scuola e viceversa.
La negazione logica
La negazione logica inverte la tavola di verità di una proposizione semplice o composta. Il simbolo della negazione logica è ¬ oppure ~.
$$ ¬A $$
Ecco la tavola di verità della negazione logica. 
Esempio. La frase "non piove" può essere scritta come la composizione della negazione logica "non" con la proposizione semplice "piove". Quindi, se la variabile logica A = "piove" allora la sua negazione è ¬A="non piove".
Le regole di precedenza tra i connettivi logici
Come accade per le operazioni matematiche anche i connettivi logici hanno delle regole di precedenza.
A parità di condizioni
- La negazione ha la precedenza sugli altri connettivi logici
- La congiunzione e la disgiunzione hanno la stessa precedenza
Per modificare le regole di precedenza posso comunque usare le parentesi tonde.
Esempio
Considero questa espressione logica dove A=V e B=V
$$ A \vee \overline{B} $$
La proposizione composta è falsa perché la negazione ha la precedenza sulla congiunzione logica.
$$ A \wedge \overline{B} = V \wedge \overline{V} = V \wedge F = F $$
Per applicare la negazione dopo la congiunzione logica devo usare le parentesi tonde
Ad esempio
$$ \overline{ (A \wedge B) } = \overline{ (V \wedge V) } = \overline{V} = F $$
E così via
