I connettivi logici

I connettivi logici mi permettono di costruire una proposizione logica composta (espressione logica).

Un'espressione logica è composta da due o più proposizioni legate tra loro dai connettivi logici.

I connettivi logici sono anche detti operatori logici o connettivi proposizionali.

Nota. Alcuni connettivi logici sono binari perché legano tra loro due proposizioni. Ad esempio, la congiunzione e la disgiunzione logica. Altri connettivi sono invece unari perché agiscono su una sola proposizione. Ad esempio la negazione logica.

I principali connettivi logici sono

La congiunzione logica 

La congiunzione logica è un connettivo binario perché lega due proposizioni semplici. La proposizione composta dalla congiunzione logica è vera se sono vere entrambe le due proposizioni che la compongono. Il simbolo della congiunzione logica è ∧ oppure dall'operatore logico "AND".

$$ A ∧ B $$

Ecco la tavola di verità della congiunzione logica.

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \land B \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & F \\
F & F & F \\
\hline
\end{array}
$$

Esempio. La proposizione logica "esco di casa e vado a scuola " è composta da due proposizioni logiche legate tra loro dall'operatore "e" (and). La proposizione è vera solo se sono vere sia la prima proposizione semplice "esco di casa" che la seconda "vado a scuola".

La disgiunzione logica

Esistono due tipi di disgiunzioni logiche

• La disgiunzione logica inclusiva (OR)
  La disgiunzione logica inclusiva è un connettivo binario perché lega due proposizioni tra loro. La proposizione composta dalla disgiunzione inclusiva è vera se è vera almeno una delle proposizioni che la compongono. Il simbolo della disgiunzione logica inclusiva è ∨

  $$ A ∨ B $$

  Ecco la tavola di verità della disgiunzione logica inclusiva.
  $$
  \begin{array}{|c|c|c|}
  \hline
  A & B & A \lor B \\
  \hline
  V & V & V \\
  V & F & V \\
  F & V & V \\
  F & F & F \\
  \hline
  \end{array}
  $$

  Esempio. La proposizione logica "se piove o grandina domani vado a scuola" è composta da due proposizioni semplici legate tra loro dall'operatore "o" inclusivo (or). La proposizione composta è vera se almeno una delle proposizioni semplici è vera. Non importa quale. Inoltre, l'una non esclude l'altra. Per questo è detta disgiunzione "inclusiva". Se entrambe le proposizioni semplici sono vere "piove e grandina" anche la proposizione composta è vera.

• La disgiunzione logica esclusiva (XOR)
  La disgiunzione logica esclusiva è un connettivo binario perché lega due proposizioni. Una proposizione composta tramite la disgiunzione esclusiva è vera se è vera solo una delle proposizioni che la compongono ma non entrambe. Se sono vere entrambe, la proposizione composta è falsa. Il simbolo della disgiunzione logica (o XOR) è una v̇ con un punto sopra oppure un più cerchiato $ \oplus $.

  $$ A \dot{∨} B \text{ oppure }  A \oplus B $$

  Questa è la tavola di verità della disgiunzione logica esclusiva $$
  \begin{array}{|c|c|c|}
  \hline
  A & B & A \oplus B \\
  \hline
  V & V & \color{red}F \\
  V & F & V \\
  F & V & V \\
  F & F & F \\
  \hline
  \end{array}
  $$

  Esempio. La proposizione logica "domani resto a casa o vado a scuola" è composta da due proposizioni logiche legate tra loro dall'operatore "o" esclusivo (xor). La proposizione composta è vera solo se una delle due proposizioni semplici è vera. Se entrambe le proposizioni semplici sono vere, la proposizione composta è falsa perché l'una esclude l'altra. Per questo è detta disgiunzione "esclusiva". Se resto a casa non vado a scuola e viceversa.

La negazione logica

La negazione logica inverte la tavola di verità di una proposizione semplice o composta. Il simbolo della negazione logica è ¬ oppure ~. Se una proposizione A è vera, allora la sua negazione ¬A è falsa, e viceversa.

$$ ¬A $$

Ecco la tavola di verità della negazione logica.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
A & \neg A \\
\hline
V & F \\
F & V \\
\hline
\end{array}
$$

Esempio. La frase "non piove" può essere scritta come la composizione della negazione logica "non" con la proposizione semplice "piove". Quindi, se la variabile logica A = "piove" allora la sua negazione è ¬A="non piove".

Le regole di precedenza tra i connettivi logici

Come accade per le operazioni matematiche anche i connettivi logici hanno delle regole di precedenza.

A parità di condizioni

• La negazione ha la precedenza sugli altri connettivi logici
• La congiunzione e la disgiunzione hanno la stessa precedenza

Per modificare le regole di precedenza posso comunque usare le parentesi tonde.

Esempio

Considero questa espressione logica dove A=V e B=V

$$ A \wedge \overline{B} $$

La proposizione composta è falsa perché la negazione ha la precedenza sulla congiunzione logica.

$$ A \wedge \overline{B} = V \wedge \overline{V} = V \wedge F = F $$

Per applicare la negazione dopo la congiunzione logica devo usare le parentesi tonde

Ad esempio

$$ \overline{ (A \wedge B) } = \overline{ (V \wedge V) } = \overline{V} = F $$

Implicazione logica (o condizionale)

L'implicazione logica è la condizionale "se A allora B", indicata simbolicamente come \( A \Rightarrow B \), ed è un'operazione logica fondamentale nella logica proposizionale.

Si interpreta come un'affermazione che dichiara che, se la proposizione \( A \) (chiamata antecedente) è vera, allora anche la proposizione \( B \) (chiamata conseguente) deve essere vera.

Se l'antecedente è vera ma la conseguente è falsa, l'intera condizionale è falsa. Negli altri casi, la condizionale è considerata vera.

Ecco la tabella di verità per la condizionale "se \( A \) allora \( B \)":

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \Rightarrow B \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & V \\
F & F & V \\
\hline
\end{array} $$

In sintesi, la condizionale "se \( A \), allora \( B \)" è vera in tutti i casi tranne quando \( A \) è vero e \( B \) è falso.

L'aspetto che può sembrare controintuitivo è che la condizionale è considerata vera quando l'antecedente è falso, indipendentemente dal valore di verità del conseguente.

Questo accade perché, se l'antecedente non si verifica, l'affermazione "se \( A \), allora \( B \)" non può essere smentita: non c'è modo di verificare una condizione che non si presenta. Questo tipo di verità è conosciuto come "verità vacua".

Ad esempio, considero l'affermazione: "Se piove, allora la strada è bagnata." Questa condizionale è falsa solo nel caso in cui piove (l'antecedente è vero) ma la strada non è bagnata (il conseguente è falso). In tutti gli altri casi (ad esempio, se non piove), la condizionale è considerata vera, indipendentemente se la strada è bagnata oppure no. Spesso questo significato logico è poco chiaro, poiché nel linguaggio quotidiano siamo abituati all'affermazione di qualche tipo di relazione causale tra l'antecedente e il conseguente. Ad esempio, dire "Se piove, allora la strada è bagnata" suggerisce una causa (la pioggia) e un effetto (la strada bagnata). Tuttavia, nella logica proposizionale, la condizionale si limita a stabilire solo una relazione di verità tra A e B, senza necessariamente implicare una causalità.

Doppia implicazione (o bicondizionale)

La doppia implicazione è la bicondizionale "A se e solo se B", è un connettivo logico che esprime una relazione di equivalenza tra due proposizioni. Viene rappresentata con il simbolo \( \Leftrightarrow \) o \( \iff \). $$ A \Leftrightarrow B $$

In pratica, la proposizione bicondizionale \( A \Leftrightarrow B \) è vera quando entrambe le proposizioni A e B hanno lo stesso valore di verità: entrambe vere o entrambe false.

La tavola di verità di \( A \Leftrightarrow B \) è la seguente:

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \Leftrightarrow B \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & F \\
F & F & V \\
\hline
\end{array} $$

Questa tavola mostra che \( A \Leftrightarrow B \) è vero solo quando \( A \) e \( B \) hanno lo stesso valore di verità, cioè sono entrambi veri o entrambi falsi.

L'espressione bicondizionale afferma che le due proposizioni A e B sono logicamente equivalenti: se una è vera, lo è anche l'altra, e se una è falsa, lo è anche l'altra.

Si può anche vedere come una combinazione di due implicazioni reciproche:

$$ A \Leftrightarrow B \quad \text{è equivalente a} \quad (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) $$

In altre parole, per dire che \( A \Leftrightarrow B \) è vera, deve essere vero sia che "se A allora B" sia vero, sia che "se B allora A" sia vero.

Ad esempio, considera le seguenti proposizioni: \( A \): "Un numero è pari"  e \( B \): "Il numero è divisibile per 2". La bicondizionale \( A \Leftrightarrow B \) afferma che "Un numero è pari se e solo se è divisibile per 2." In questo caso, la proposizione è vera, perché c'è una corrispondenza diretta tra essere pari ed essere divisibile per 2.

La bicondizionale è spesso utilizzata nelle dimostrazioni matematiche e nei ragionamenti logici per mostrare che due affermazioni sono equivalenti e si implicano reciprocamente.

E così via