Legge del terzo escluso
Una proposizione $A$ è o vera o falsa. Non esiste una terza possibilità. In simboli logici:$$A \vee \neg A$$ Dove $\vee$ significa “oppure” e $\neg$ significa “non”
La legge dice che tra due opposti, uno è sempre vero.
- Se $A$ è vera, allora la formula è vera perché $A$ è vera.
- Se $A$ è falsa, allora $\neg A$ è vera, quindi la formula resta vera.
Ecco la tabella di verità:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & \neg A & A \vee \neg A \\
\hline
V & F & V \\
\hline
F & V & V \\
\hline
\end{array} $$
In nessun caso la formula è falsa. Pertanto, è una tautologia.
E' detta legge del "terzo escluso" perché non esiste una terza opzione nella logica classica.
Nota. Questa legge è fondamentale nella logica classica e si incontra in molte dimostrazioni. Tuttavia, non è una legge universale. Ci sono logiche, diverse da quella classica, in cui la legge del terzo escluso non è valida. Ad esempio, questa legge non è valida nella logica intuizionista, dove non si accetta che ogni proposizione sia vera o falsa se non si può provarlo costruttivamente. In parole povere, in questa logica non basta dire che una cosa è vera “per esclusione”, bisogna esibire una prova concreta della sua verità.
Esempio
Considero la proposizione $A$ = “Il numero n è un numero razionale.”
Poi utilizzo la legge del terzo escluso
$$A \vee \neg A$$
Le possibilità sono due: il numero $ n $ è un numero razionale (A vera) oppure non è un numero razionale ($\neg A$ vera)
Questo accade perché un numero $ n $ non può essere contemporaneamente "razionale" e "non razionale" (irrazionale). logicamente parlando: o sì o no.
Ad esempio, il numero $ n=2.5 $ è un numero razionale perché posso ottenerlo come frazione di due numeri interi $ n = \frac{5}{2} = 2.5 $, quindi non è un numero irrazionale (non razionale).
Note
Alcune note aggiunte e osservazioni personali
- La differenza tra la legge del terzo escluso e la legge di non contraddizione
La legge del terzo escluso parla di una verità assoluta della logica classica: ogni proposizione è vera o falsa, senza vie di mezzo. La legge di non contraddizione, invece, dice che non possono essere vere insieme $A$ e $\neg A$.
Esempio. La legge del terzo escluso dice che “Sta piovendo” (a Roma) è o vera o falsa, non esiste una terza possibilità. La legge di non contraddizione dice che non può essere vero insieme che “Sta piovendo” e “Non sta piovendo” (a Roma). Quindi, il terzo escluso impone che una delle due sia vera, mentre la non contraddizione vieta che siano entrambe vere. Sono leggi della logica classica che sembrano simili, perché parlano di vero e falso, ma non dicono la stessa cosa.
E così via.
