Teorema inverso

Il teorema inverso consiste nel formulare l'implicazione inversa di un teorema già noto. Se un teorema è espresso nella forma:\[ A \Rightarrow B \] che significa che "se A è vero, allora B è vero", il teorema inverso è \[ B \Rightarrow A \] che afferma che "se B è vero, allora A è vero".

E' un concetto che si applica in vari ambiti della matematica, della geometria e della logica.

Va da sé che non tutti i teoremi hanno un teorema inverso.

Il concetto del teorema inverso è strettamente legato alla nozione di "se e solo se", che si esprime simbolicamente con \( \iff \) e indica un'equivalenza logica tra due affermazioni.

Quando sia il teorema diretto che il suo inverso sono veri, allora posso scrivere:

\[ A \iff B \]

che si legge "A se e solo se B", indicando che le due affermazioni sono equivalenti.

Significa che una delle due affermazioni è sia necessaria che sufficiente per l'altra.

• Condizione necessaria: Se \( A \Rightarrow B \), significa che B è una condizione necessaria per A, cioè se B è falsa allora anche A è falsa. Viceversa, se B è vera, allora A potrebbe essere sia vera che falsa.
  Esempio. Considero A="piove", B="il terreno è bagnato". Quindi \( A \Rightarrow B \) vuole dire "se piove, allora il terreno è bagnato". In questo caso, il terreno bagnato (B) è necessario per dire che ha piovuto (A), ma non è sufficiente perché potrebbe bagnarsi anche per un altro motivo (es. irrigazione).
  
• Condizione sufficiente: Se \( A \Rightarrow B \), significa che A è una condizione sufficiente per B, cioè se A è vera allora anche B è vera. Viceversa, se A è falsa, allora B potrebbe essere sia vera che falsa.
  Esempio. Considero A="piove", B="il terreno è bagnato e ancora la stessa implicazione \( A \Rightarrow B \) che vuole dire "se piove, allora il terreno è bagnato". In questo caso piove (A) è sufficiente per dire che il terreno è bagnato (B), ma non è necessario perché il terreno potrebbe bagnarsi per altri motivi.
  

Se entrambe le condizioni sono vere, allora \( A \iff B \) ossia vale la doppia implicazione \( A \Rightarrow B \) e \( B \Rightarrow A \).

Un esempio pratico

Un classico esempio viene dalla geometria euclidea con il teorema di Pitagora e il suo teorema inverso:

• Teorema di Pitagora
  Se un triangolo è rettangolo, allora la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
  \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
• Teorema inverso di Pitagora
  Se in un triangolo la somma dei quadrati di due lati è uguale al quadrato del terzo lato, allora il triangolo è rettangolo.

Poiché entrambi sono veri, possiamo scrivere:

\[ \text{Il triangolo è rettangolo} \iff a^2 + b^2 = c^2 \]

Questo significa che l’uguaglianza \( a^2 + b^2 = c^2 \) è condizione necessaria e sufficiente per avere un triangolo rettangolo.

E così via.