Forme proposizionali
Le forme proposizionali sono espressioni formate combinando le lettere proposizionali (\(p, q, r, \ldots\)) con i connettivi logici (come \(\neg\), \(\land\), \(\lor\), \(\to\), \(\leftrightarrow\)) secondo regole sintattiche ben definite, senza specificare il valore di verità delle lettere proposizionali che le compongono.
In altre parole, le forme proposizionali rappresentano la struttura sintattica astratta di una proposizione logica.
Sono una generalizzazione delle proposizioni e possono essere vere o false a seconda dei valori di verità attribuiti alle lettere proposizionali.
Quindi, le forme proposizionali non hanno valori di verità intrinseci, perché i valori dipendono dalle interpretazioni assegnate alle lettere proposizionali.
Le forme proposizionali possono essere costruite usando i connettivi logici e rispettando regole di sintassi.
Ecco qualche esempio pratico:
- \( p \land q \): forma proposizionale che rappresenta la congiunzione tra \(p\) e \(q\).
- \( \neg p \): forma proposizionale che rappresenta la negazione di \(p\).
- \( (p \to q) \lor r \): forma proposizionale che rappresenta la disgiunzione tra l'implicazione \(p \to q\) e \(r\).
In ogni esempio non ho assegnato alcun valore di verità alle lettere proposizionali, ma il significato della forma proposizionale è comunque chiaro.
Per indicare una forma proposizionale senza specificare la sua struttura sintattica, si usano delle letter maiuscole (es. A, B, C, ecc. ) dette variabili metateoriche.
Le variabili metateoriche sono usate per fare dei ragionamenti astratti con le forme proposizionali.
Ad esempio, se \(A\) e \(B\) sono forme proposizionali, allora anche \(A \land B\), \(A \lor B\), \(A \to B\), e \(A \leftrightarrow B\) sono forme proposizionali. Allo stesso modo se \(A\) è una forma proposizionale, allora anche \(\neg A\) è una forma proposizionale.
La differenza tra forme proposizionali e proposizioni
Le forme proposizionali non sono necessariamente proposizioni, ma rappresentano una generalizzazione delle proposizioni, semplici o composte. La distinzione è sottile ma importante.
- Proposizioni semplici e complesse
Le proposizioni sono affermazioni che possono essere vere o false, come \( p \): "Piove" o \( p \land q \): "Piove e fa freddo". Ogni lettera proposizionale ha un valore di verità specifico in base a una certa assegnazione di verità alle lettere (\( p \), \( q \), ... ). Quindi, le proposizioni sono interpretabili, possono essere vere o false, a seconda del valore di verità delle lettere proposizionali. - Forme proposizionali
Sono espressioni che descrivono la struttura sintattica di una proposizione, senza specificare direttamente il valore di verità delle lettere proposizionali che le compongono. Sono puramente sintattiche. Per esempio, \( p \to q \) è una forma proposizionale che rappresenta la struttura "Se \( p \), allora \( q \)", indipendentemente dai valori di \( p \) e \( q \). Può restare indeterminata finché non si attribuiscono valori di verità alle lettere proposizionali.
Le forme proposizionali includono le proposizioni complesse, ma vanno oltre.
In generale, una proposizione semplice (\( p \)) è una forma proposizionale. Anche una proposizione complessa (\( p \land q \)) è anch’essa una forma proposizionale.
Tuttavia, una forma proposizionale non è detto che sia una proposizione.
Ad esempio, se alle lettere non è stato assegnato un valore, la forma proposizionale non è una proposizione. In questo caso, la forma proposizionale descrive semplicemente la struttura logica della proposizione, senza collegarla a un valore di verità concreto.
Pertanto, le proposizioni complesse sono istanze particolari delle forme proposizionali con valori di verità specifici.
E così via.
