Gli enunciati aperti
Un enunciato aperto è una proposizione in cui è presente almeno una variabile (x) a cui posso assegnare un valore scelto in un insieme di riferimento detto universo (U).
Gli enunciati aperti sono anche detti predicati o proposizioni aperte.
Per indicare gli enunciati aperti si usano le lettere maiuscole, indicando le variabili tra parentesi tonde. Ad esempio.
$$ A(x) \ , \ B(x) \ , \ P(x,y) , ecc. $$
Non posso affermare se un enunciato aperto è vero o falso, prima di aver assegnato un valore alla variabile.
Dopo aver assegnato un valore di verità alla variabile, l'enunciato aperto si trasforma in una proposizione vera o falsa.
Nota. In questi miei appunti uso i termini "enunciato" e "proposizione" come sinonimi. Pertanto, quando scrivo "enunciato aperto" o "proposizione aperta" intendo la stessa cosa.
Un esempio pratico
Questa proposizione è un enunciato aperto perché è presente una variabile (x) nella proposizione.
$$ P(x): \ "\text{ Il numero intero x è un numero primo} " $$
In questo caso l'insieme universo dei valori della variabile x è l'insieme dei numeri interi.
A seconda del valore che assegno alla variabile x, l'enunciato aperto P(x) si trasforma in una proposizione P vera o falsa.
Ad esempio, se x=7 la proposizione P è vera perché 7 è un numero primo.
$$ x=7 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=V $$
Viceversa, se x=4 o x=6 la proposizione P è falsa perché 4 e 7 non sono numeri primi.
$$ x=4 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=F $$
Esempio 2
Questa proposizione composta è un enunciato aperto perché sono presenti due variabili
$$ P(x): \ " \text{I numeri interi x e y sono numeri relativamente primi}" $$
L'insieme di verità (universo) di entrambe le variabili x e y è l'insieme dei numeri interi.
Nota. Due numeri sono detti relativamente primi (o co-primi) se non hanno altri divisori in comune oltre il numero 1.
In questo caso per trasformare l'enunciato aperto P(x) in una proposizione P vera o falsa devo assegnare due valori di verità x e y.
Ad esempio, se x=8 e y=9 l'enunciato aperto P(x) diventa una proposizione P vera, perché 8 e 9 sono relativamente primi.
$$ x=8 \ , y=9 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=V $$
Se x=8 e y=12 l'enunciato aperto P(x) diventa una proposizione P falsa, perché 8 e 12 sono entrambi divisibili per due e per quattro. Quindi non sono numeri relativamente primi.
$$ x=8 \ , y=12 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=F $$
L'insieme di verità
L'insieme di verità è l'insieme dei valori x dell'universo U che trasforma l'enunciato aperto P(x) in una proposizione vera P=V. $$ A = \{ \forall \ x \in U \ | \ P(x)=V \} $$
L'insieme dei valori che trasforma l'enunciato aperto in una proposizione falsa è, invece, l'insieme complementare A\U all'insieme di verità A rispetto all'insieme universo U.
$$ B = A \text{ \ } U $$
Esempio
Considero questo enunciato aperto
$$ P(x): \ "\text{Il numero intero positivo x è un divisore di 10}" $$
In questo caso l'insieme universo (U) dei valori assegnabili alla variabile x è l'insieme dei numeri interi positivi
$$ U = Z^+ $$
L'insieme di verità è un insieme finito composto dai divisori interi di 10.
$$ A = \{ 1,2,5,10 \} $$
Questi valori trasformano l'enunciato aperto P(x) in una proposizione vera.
$$ \forall \ x \ \in A \ \Rightarrow \ P(x)=V $$
L'insieme complementare di A rispetto all'insieme universo è, invece, l'insieme dei valori che rendono falso l'enunciato aperto P(x)
$$ A \text{ \ } U = \{ 3,4,6,7,8,9,11,12,... \} $$
Ogni valore dell'insieme complementare A\U trasforma l'enunciato aperto P(x) in una proposizione falsa.
$$ \forall \ x \ \in A \text{ \ } U \ \Rightarrow \ P(x)=F $$
E così via.
