La negazione logica

La negazione è un connettivo logico che nega il valore di verità (vero o falso) di una proposizione semplice o composta (A). Si indica con i simboli ¬ o ~ prima della variabile logica oppure con un trattino sopra la variabile logica $$ ¬A \ \ , \ \ \text{~}A \ \ , \ \ \bar{A} $$ In tutti i casi si legge "non A".

Ecco la tavola di verità della negazione

la tavola di verità della negazione logica

Se la proposizione A è vera, la negazione della proposizione ¬A è falsa.

$$ ¬( \text{vero}) = \text{falso} $$

Se la proposizione A è falsa, la negazione della proposizione ¬A è vera.

$$ ¬( \text{falso}) = \text{vero} $$

Nota. In pratica la negazione logica mi permette di ottenere il valore di verità opposto di una proposizione logica. La logica classica ha solo due valori di verità: vero e falso. Pertanto, l'opposto di vero è falso e viceversa.

A parità di condizioni, la negazione ha la precedenza su tutti gli altri connettivi logici ossia deve essere svolta prima degli altri.

Un esempio pratico

Considero la proposizione logica è "vado a casa"

$$ P = \text{vado a casa} $$

La negazione della proposizione è "non vado a casa"

$$ ¬P = \text{non vado a casa} $$

In questo modo ho ottenuto il significato opposto della proposizione iniziale.

Esempio 2

Considero la proposizione logica Q = "non vado a casa"

$$ Q = \text{non vado a casa} $$

La negazione della proposizione Q è "vado a casa"

$$ ¬Q = \text{vado a casa} $$

Anche in questo caso ottengo una proposizione con il significato opposto rispetto a quella iniziale.

La doppia negazione

La doppia negazione di una proposizione non cambia il valore di verità della proposizione.

$$ \begin{array}{c|r|c} P & ¬P & ¬¬P \\ \hline V & F & V \\ F & V & F \end{array} $$

Esempio. Se la proposizione Q è $$ Q=\text{non vado a casa} $$ la negazione logica della proposizione ¬Q è $$ ¬Q = \text{vado a casa} $$ Spiegazione. Considero due proposizioni. $$ P=\text{vado a casa} $$ $$ Q=\text{non vado a casa} $$ Posso riscrivere "non" come ¬. $$ Q = ¬ ( \text{vado a casa} ) $$ Pertanto, è equivalente scrivere Q come la negazione di P $$ Q = ¬P $$ Ora nego entrambi i membri dell'equazione. La proposizione Q equivale alla doppia negazione di P. $$ ¬Q = ¬(¬P) $$ Sapendo che la negazione di Q è P ossia ¬Q=P $$ P = ¬(¬P) $$ allora la doppia negazione di P si annulla. In conclusione ¬(¬P) = "vado a casa"

In generale, se la negazione è ripetuta un numero pari di volte, il risultato è uguale alla proposizione di origine.

$$ ¬( ¬( \text{vero}) ) = ¬( \text{falso} ) = \text{vero} $$

Viceversa, se la negazione è ripetuta un numero dispari di volte, il risultato è la negazione della proposizione iniziale.

$$ ¬( ¬( ¬( \text{vero}) ) ) = ¬( ¬( \text{falso} ) ) = ¬( \text{vero} ) = \text{falso} $$

E così via.

 


 

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