Doppia negazione
La doppia negazione è una legge della logica classica secondo cui negare due volte una proposizione equivale ad affermarla. In simboli: $$\neg \neg A \equiv A $$
In altre parole, negare il falso è lo stesso che dire il vero.
Perché è Importante?
Nella logica classica la doppia negazione è utile perché semplifica le frasi logiche ed evita inutili giri di parole e doppie negazioni.
La legge $\neg \neg A \equiv A $ è anche chiamata legge di eliminazione della doppia negazione (Double Negation Elimination)
La legge inversa $ A \equiv \neg \neg A $ è invece detta legge di introduzione della doppia negazione (Double Negation Introduction).
Esempi
Se nego che “non piove”, sto dicendo che “piove”.
$$ A: "piove" $$
$$ \neg A: "non \ piove" $$
$$ \neg \neg A: "non \ è \ vero \ che \ non \ piove" \Rightarrow "piove" $$
Le due negazioni si eliminano a vicenda e riportano la proposizione al suo stato originario.
Esempio 2
Allo stesso modo se affermo che “Non è vero che non è sabato”, sto dicendo che "è sabato".
$$ A: "è \ sabato " $$
$$ \neg A: "non \ è \ sabato " $$
$$ \neg \neg A: "non \ è \ vero \ che \ non \ è \ sabato" \Rightarrow A: "è \ sabato" $$
Esempio 3
Se la proposizione è:
$$ A: “Il \ numero \ 3 \ è \ dispari” $$
Se nego due volte la proposizione, il significato resta invariato: la doppia negazione equivale a dire semplicemente “3 è dispari”.
$$ \neg A: “Il \ numero \ 3 \ non \ è \ dispari” $$
$$ \neg \neg A = "E' \ falso \ che \ il \ numero \ 3 \ non \ è \ dispari" \\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ A: “Il \ numero \ 3 \ è \ dispari” $$
In pratica, negare due volte equivale ad affermare.
La differenza tra la logica classica e la logica intuizionista
Nella logica classica, la doppia negazione funziona sempre in entrambe le direzioni:
$$\neg \neg A \rightarrow A $$
$$ A \rightarrow \neg \neg A $$
Ma non in tutte le logiche è così.
Nella logica intuizionista vale solo il passaggio da $A $ a $ \neg \neg A $, ma non il contrario.
$$ A \rightarrow \neg \neg A $$
Per affermare $A $ serve una prova costruttiva.
Esempio. Nella logica classica, dire “Non è falso che Marte abbia acqua” equivale a dire “Marte ha acqua.” Nella logica intuizionista, invece, affermare “Non è falso che Marte abbia acqua” non basta per concludere che Marte ha davvero acqua: servirebbe una prova costruttiva per dimostrare l’esistenza dell’acqua su Marte. In altre parole, nella logica intuizionista, “non è falso” significa soltanto che non si può dimostrare il contrario, non che si abbia una prova diretta dell’affermazione. Per questa ragione la doppia negazione non implica sempre l’affermazione stessa.
E così via.
