Area del triangolo
L'area di un triangolo si calcola mediante una formula molto semplice. Se b è la lunghezza della base del triangolo e h è la sua altezza (il segmento perpendicolare tracciato dalla base a un vertice opposto), l'area A del triangolo è data da: $$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$
Questa formula deriva dal fatto che un triangolo posso considerarlo come la metà di un parallelogramma che ha la stessa base e la stessa altezza.
Questa intuizione geometrica è molto utile perché collega proprietà di due figure geometriche diverse.
L'area del parallelogramma è il prodotto base per altezza.
Quindi, l'area del triangolo è il prodotto base per altezza diviso due.
Le formule Inverse
Oltre alla formula base, ci sono anche formule inverse che possono essere utilizzate per determinare la base o l'altezza di un triangolo se si conosce la sua area.
$$ b=\frac{2A}{h} $$
Allo stesso modo posso calcolare l'altro cateto.
$$ h=\frac{2A}{b} $$
Queste formule inverse sono particolarmente utili nella risoluzione dei problemi di geometria.
Un esempio pratico
Prendo come esempio un triangolo scaleno in cui l'altezza è h=7.0588 e la base è c=17
Per calcolare l'area del triangolo calcolo la base per l'altezza
$$ A=\frac{c \cdot h}{2} = \frac{17 \cdot 7.0588}{2} \approx 60 $$
L'area del sito è A=60.
L'area del triangolo rettangolo
Nel caso particolare del triangolo rettangolo, l'area si calcola moltiplicando tra loro i due cateri.
$$ A = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} $$
Questo perché un cateto coincide con una base (b=c1) e l'altro con un'atlezza (h=c2) del triangolo, e dividendo il prodotto per due
La formula di Erone
La formula di Erone mi permette di calcolare l'area di qualsiasi triangolo, se conosco solo le lunghezze dei lati.
$$ A = \sqrt{p \cdot (p-l_1) \cdot (p-l_2) \cdot (p-l_2)} $$ Dove \( l_1 \), \( l_2 \), e \( l_3 \) sono i lati e \(p = \frac{l_1+l_2+l_3}{2}\) è il semiperimetro del triangolo.
Questa formula è molto utile quando l'altezza del triangolo non è nota ed è difficile da calcolare.
Esempio
Considero il triangolo dell'esempio precedente.
Provo a calcolare l'area usando la sola conoscenza delle lunghezze dei lati tramite la formula di Erone.
In questo caso i lati sono a=8, b=15, c=17.
$$ A = \sqrt{p \cdot (p-8) \cdot (p-15) \cdot (p-17)} $$
Calcolo il semiperimetro del triangolo.
$$ p = \frac{8+15+17}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$
Sostituisco il perimetro p=20 nella formula di Erone.
$$ A = \sqrt{p \cdot (p-8) \cdot (p-15) \cdot (p-17)} $$
$$ A = \sqrt{20 \cdot (20-8) \cdot (20-15) \cdot (20-17)} $$
$$ A = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} $$
$$ A = \sqrt{3600)} $$
$$ A = 60 $$
L'area del triangolo è 60.
E' lo stesso risultato ottenuto nell'esempio precedente.
E così via.
