Teoria dei sistemi

Cos'è la teoria dei sistemi

La teoria dei sistemi studia le proprietà di un sistema mediante la costruzione un modello matematico che descrive il comportamento del sistema, la sua stabilità e le risposte.

Cos'è un sistema

Un sistema è un complesso organizzato di elementi interconnessi in relazioni di causa-effetto.

E' oggetto astratto orientato.

• è astratto perché non dipende dalla tecnologia usata
• è orientato in quanto ha un verso.

Un sistema reagisce a una sollecitazione esterna ( causa ) producendo una reazione ( effetto ).

Ogni elemento del sistema è associato a una grandezza variabile nel tempo, detta semplicemente variabile.

Essendo elementi interconnessi, la variazione di una variabile modifica anche le altre variabili del sistema, tutte o soltanto alcune.

Esistono due tipologie di variabili in un sistema

• Le variabili di ingresso ( indipendenti ). Sono le grandezze in input che entrano nel sistema dall'esterno e sono la causa e origine dei cambiamenti nel sistema.

  Nota. Nei sistemi controllati, quelli dotati di controlli automatici, una parte delle variabili in ingresso sono modificabili dai dispositivi di controllo. Un'altra parte di variabili, invece, non sono modificabili e sono dette disturbi. In genere, in un'equazione differenze sono variabili di ingresso quelle con ordine di derivazione più basso.

• Le variabili di uscita ( dipendenti ). Sono le grandezze in output che escono dal sistema. Sono l'effetto, ossia la risposta e il comportamento del sistema.

Un sistema con le variabili in ingresso e in uscita è detto sistema orientato.

I segnali sono le funzioni che mostrano l'andamento delle variabili nel corso del tempo.

La differenza tra variabili e segnali. Una variabile corrisponde generalmente a un numero reale. Ad esempio, v=4. Il segnale corrisponde a una funzione che associa il numero reale al tempo. Ad esempio v(t)=4.

Lo stato del sistema è il comportamento del sistema all'istante di tempo t.

$$ X(t) $$

Nello stato del sistema è riassunto il presente e la storia passata del sistema.

E' la grandezza che determina le uscite (y) del sistema in base agli ingressi (x) in un determinato istante temporale t.

Nota. In un modello possono esserci una o più variabili di stato. Il numero delle variabili di stato coincide con l'ordine del sistema.

Come rappresentare un sistema

Per rappresentare un sistema uso uno schema con blocchi e collegamenti.

• Blocchi
  Ogni blocco identifica un sistema
• Collegamenti
  I collegamenti dei blocchi identificano le variabili del sistema. Ogni collegamento ha una freccia orientata verso l'ambiente esterno e altri sistemi ( variabili di uscita ) o verso il sistema ( variabili di ingresso ).

Ha una forma caratteristica di ingresso-uscita.

Perché si usa lo schema a blocchi?

Lo schema a blocchi ha il vantaggio di mettere ben in evidenza le relazioni di causa ed effetto.

Può rappresentare anche sistemi complessi composti da molte variabili.

Ogni ingresso corrisponde a una variabile indipendente, mentre ogni uscita corrisponde a una funzione.

$$ v_4 = f(v_1,v_2,v_3) \\ v_5 = g(v_1,v_2,v_3) $$

La relazione quantitativa tra le variabili in entrata e in uscita è detta modello formale o matematico del sistema.

Nota. Non è sempre semplice creare una dipendenza ingresso/uscita, ossia legare l'uscita del sistema con l'ingresso, perché il comportamento del sistema in un istante t potrebbe essere dipendente dalla storia passata del sistema.

Il modello matematico di un sistema

Il modello matematico è la funzione che determina il valore delle uscite (vout) a partire dai valori in entrata (vin) e dei parametri interni.

Il modello può essere una semplice funzione f(x) o un sistema di equazioni/disequazioni.

E' composto da variabili e parametri.

Nota. I parametri configurano il funzionamento del sistema. Le variabili, invece, sono i valori in entrata e in uscita dal sistema.

Quando un modello approssima al meglio il comportamento del sistema nella realtà, il modello è adeguato.

Essendo definito in astratto, un modello potrebbe rappresentare diversi sistemi fisici se ha le stesse variabili e la stessa relazione ingresso/uscita.

Nota. Il significato delle variabili può anche cambiare se il modello rappresenta diversi sistemi fisici. La relazione tra le variabili è invece la stessa.

Tipi di modelli

Esistono varie tipologie di modelli

• Un sistema statico è caratterizzato da un legame stabile (costante) tra le variabili in entrata e in uscita, una volta raggiunto uno stato di equilibrio ( regime stazionario ).
  

  Nota. Il modello statico si usa per descrivere i sistemi quando le variabili in entrata variano molto lentamente nel tempo rispetto ai tempi di risposta del sistema.

• Un sistema dinamico è caratterizzato da relazioni variabili. E' composto da equazioni differenziali che legano tra loro le variabili di entrata e uscita e le loro derivate rispetto al tempo. Pertanto, il comportamento e le risposte dei sistemi dinamici cambiano nel corso del tempo.
  

  Nota. Sono studiati nella teoria dei sistemi e del controllo. L'attenzione è focalizzata soprattutto sul regime transitorio, quello in cui un sistema modifica il proprio comportamento.

La teoria del controllo

La teoria del controllo studia gli algoritmi che modificano il comportamento di un sistema in modo autonomo. E' anche detta teoria dei controlli automatici.

Ecco un esempio pratico di sistema controllato tramite una retroazione negativa.

Il sistema è dotato di un dispositivo regolatore (o controllore) che analizza l'uscita y(t) e l'entrata x(t) per adeguare l'ingresso u(t) del sistema.

Ad esempio, se l'ingresso è troppo alto x(t) rispetto all'uscita y(t) riduce l'ingresso u(t) smorzandone l'effetto.

Nota. La teoria del controllo e la teoria dei sistemi sono alla base della scienza dell'automazione ( o automatica ).

La differenza tra sistemi discreti e continui

I sistemi possono essere discreti o continui

• Sistema continuo
  Un sistema continuo è un sistema in cui le variabili di stato cambiano continuamente rispetto al tempo.

  Esempio. La posizione o la velocità di un'automobile cambia nel tempo in modo continuo, istante dopo istante.

• Sistema discreto
  Un sistema discreto è un sistema in cui le variabili di stato cambiano solo in alcuni istanti.

  Esempio. La coda di un ufficio postale quando entra o esce un cliente.

Sistemi ad avanzamento temporale (SAT)

I sistemi ad avanzamento temporale (SAT) sono sistemi che evolvono nel corso del tempo (t).

Possono essere a tempo continuo o discreto, di tipo lineare o non lineare.

Sistemi a eventi discreti (SED)

I sistemi a eventi discreti (SED) sono sistemi dinamici che assumono valori simbolici, logici e non numerici.

I sistemi a eventi non possono essere descritti da un modello lineare perché dipendono dal verificarsi o meno di un evento. E' uno dei campi di studio più recenti.

Possono essere logici o temporizzati.

Perché si studiano i sistemi a eventi? Alcuni sistemi complessi non sono analizzabili con gli schemi classici della Teoria dei sistemi e del controllo. Questo spiega la necessità di studiarli con una disciplina a se stante.

E così via.