Sistemi statici
Cos'è un sistema statico
Un sistema statico è un sistema con un modello matematico statico.
Cos'è il modello matematico?
Il modello matematico è la relazione che lega le variabili in uscita con le variabili in entrata del sistema.
Quando il modello è statico?
Il modello è detto statico ( o puramente algebrico ) se è costante la relazione tra le variabili in uscita e in entrata.
In tali circostanze il sistema si trova in uno stato di equilibrio stazionario ( o regime stazionario ).
Quando un sistema si trova in regime stazionario tutti i segnali sono costanti.
Cosa sono i segnali? Sono le funzioni x(t) che descrivono le variazioni delle variabili nel corso del tempo. Ad esempio, se x=2 al tempo t1 e x=3 al tempo t2, il segnale x(t) è uguale al rapporto incrementale Δx/Δt. Dove Δx=3-2 e Δt=t2-t1. Se analizzo la variazione in un istante preciso t, il segnale coincide con la derivata prima di x(t) rispetto al tempo.
In un sistema statico le variabili in input variano molto lentamente nel tempo, rispetto alla risposta del sistema.
Questo mi permette di costruire un modello basandomi esclusivamente sulla linearizzazione dell'intorno locale della variabile x.
Un esempio pratico
Ho un semplice sistema con una variabile in entrata (x) e una variabile in uscita (y)
$$ y=f(x) $$
Lo schema a blocchi del sistema è il seguente
La variabile in ingresso è uguale a x1 e varia molto lentamente.
Il corrispondente valore della variabile in uscita è f(x1)
$$ y=f(x_1) $$
La linearizzazione dell'intorno consiste nel calcolo della derivata prima della funzione f(x) nel punto x1.
$$ ∝ = \frac{∂y}{∂x} $$
La derivata è uguale al coefficiente angolare α della retta tangente al grafico ( blu ).
A questo punto posso usare la retta con coefficiente angolare α come approssimazione dei valori della funzione f(x).
$$ Δy = ∝ \cdot Δx $$
Ho così ottenuto il modello matematico statico del sistema.
Nota. Se la variabile di ingresso si trovasse nel punto x2, la derivata prima sarebbe uguale a β. Quindi, dovrei usare un coefficiente angolare differente per la linearizzazione locale.
I sistemi statici con più variabili
Se il sistema statico avesse più variabili in ingresso e in uscita il discorso si complicherebbe un po', ma la logica resterebbe sempre la stessa.
Esempio
Un sistema ha due variabili in entrata (x1,x2) e due in uscita (y1,y2).
Ogni variabile di uscita (y1,y2) è una funzione a se stante f(x1,x2) e g(x1,x2).
$$ y_1 = f(x_1,x_2) $$
$$ y_2 = g(x_1,x_2) $$
Entrambe le variabili in entrata x1,x2 sono costanti o variano molto lentamente.
Quindi posso costruire un sistema con modello statico.
Per ciascuna funzione posso calcolare la derivata rispetto alle variabili di ingresso.
$$ a_{f,x_1} = \frac{∂f}{∂x_1} \\ a_{f,x_2} = \frac{∂f}{∂x_2} \\ a_{g,x_1} = \frac{∂g}{∂x_1} \\ a_{g,x_2} = \frac{∂g}{∂x_2} $$
Grazie a questi coefficienti ottengo la linearizzazione delle funzioni
$$ Δy_1 = a_{f,x_1} Δx_1 + a_{f,x_2} Δx_2 $$
$$ Δy_2 = a_{g,x_1} Δx_1 + a_{g,x_2} Δx_2 $$
Nota. La rappresentazione grafica diventa più complessa perché si lavora su uno spazio a tre dimensioni ( due variabili di ingresso e una varabile di uscita per ciascuna funzione ). Tuttavia, il concetto è del tutto identico alla linearizzazione dei sistemi più semplici.
E così via.
