Stabilità ingresso limitato uscita limitata
- Un sistema è detto sistema stabile ingresso limitato -uscita limitata (i.l.u.l.) se
- il sistema è inizialmente in stato di equilibrio con ingresso e uscita nulla
- qualsiasi perturbazione in ingresso x(t) entro un certo limite Mx ha una risposta limitata y(t) a My
In pratica la funzione x(t) e la funzione y(t) sono funzioni limitate.
Esempio
Per ogni segnale in ingresso x(t) inferiore in valore assoluto a una costante Mx
$$ |x(t)| \le M_x \:\:\:\ \forall t \ge t_0 $$
il sistema ha una risposta y(t) limitata in valore assoluto a una costante My
$$ |y(t)| \le M_y \:\:\:\ \forall t \ge t_0 $$
Pertanto, a ogni limite Mx dell'ingresso è associabile un limite My della risposta.
La differenza tra sistemi lineari e non lineari
A] Sistemi lineari
In un sistema lineare gli estremi Mx e My non dipendono dal punto di equilibrio considerato, né dall'entità della perturbazione.
Le condizioni di stabilità sono soddisfatte per qualsiasi k arbitrario
$$ |x(t)| \le k \cdot M_x \Rightarrow |y(t)| \le k \cdot M_x $$
Il caso dei sistemi lineari stazionari
Se il sistema lineare è stazionario, ossia descritto da una funzione di trasferimento razionale fratta, la stabilità ilul si raggiunge se tutti i poli si trovano nella parte reale negativa del piano di Gauss.
Il che semplifica di molto l'analisi.
Il caso dei sistemi lineari non stazionari
Se il sistema lineare non è stazionario, le condizioni di stabilità ilul sono verificate se
$$ \int_{t_0}^t |g(t,τ) \: dτ \le M \le \infty \:\:\: \forall t \ge t_0 $$
o più semplicemente per i sistemi stazionari
$$ \int_{0}^{\infty} |g(τ) \: dτ \le M \le \infty \:\:\: \forall t \ge t_0 $$
Quest'ultimo è detto teorema sul legame tra la stabilità ilul e la risposta a impulso.
B] Sistemi non lineari
In un sistema non lineare il valore estremo Mx è considerato entro un certo livello della perturbazione, oltre il quale il sistema smette di essere stabile in senso ilul.
La stabilità ilul di un sistema non lineare cambia anche in funzione del punto di equilibrio che si considera.
E così via
