Circuiti elettrici come sistemi

Grazie alla teoria dei sistemi posso rappresentare qualsiasi circuito elettrico come un sistema.

Ogni elemento del circuito è un blocco del sistema ed è caratterizzato da un modello matematico.

• Resistenza $$ v=Ri $$
• Induttore $$ v=L D[i] $$ Vedi spiegazione
• Capacitore $$ v=\frac{1}{C}D^{-1}[i] $$ Vedi spiegazione
• Generatore di tensione $$ v=V_0 $$
• Generatore di corrente $$ v=I_0 $$
• Trasformatore $$ v_1 = \frac{N_1}{N_2} v_2 \\ i_1 = -\frac{N_2}{N_1} i_2 $$ Dove N₁ e N₂ sono il numero delle spire nel primario e secondario.

Nota. Nelle formule utilizzo il simbolo D[x] per indicare la derivata di x' e il simbolo D^-1[] per indicare l'integrale indefinito di ∫x. Trattandosi di sistemi dinamici la variabile di riferimento è sempre il tempo (t) anche se non l'ho indicata.

Un esempio pratico

Questo circuito elettrico è composto da un resistore (R), un induttore (L), un condensatore (C) e un generatore di tensione.

Quindi, vale la seguente uguaglianza

$$ v_i = v_L+v_R+v_C $$

$$ v_i = L D[i] + Ri + \frac{1}{C}D^{-1}[i] $$

Derivando entrambi i membri dell'uguaglianza ottengo l'equazione differenziale del voltaggio v_i.

$$ D[v_i] = D[ L D[i] + Ri + \frac{1}{C}D^{-1}[i] ] $$

$$ D[v_i] = L D^2[i] + R D[i] + \frac{1}{C} i $$

Considerando la variabile tempo t diventa

$$ D[v_i(t)] = L D^2[i(t)] + R D[i(t)] + \frac{1}{C} i(t) $$

$$ D[v_i(t)] = ( L D^2 + R D + \frac{1}{C} ) i(t) $$

E cosi via.