Sistemi caotici
Cos'è un sistema caotico
Un sistema caotico è un sistema dinamico caratterizzato da un'elevata sensibilità alle condizioni iniziali.
Una piccola variazione nelle condizioni iniziali causa un'evoluzione diversa del sistema caotico nel tempo.
L'interesse nei sistemi caotici nasce negli anni '60-'70 dopo gli studi del meteorologo Edward Lorenz sull'effetto farfalla e la teoria del caos.
I sistemi caotici sono una classe dei sistemi complessi.
Le caratteristiche dei sistemi caotici
Il comportamento asintotico di un sistema caotico potrebbe sembrare apparentemente casuale.
In realtà, anche il sistema caotico risponde a una logica deterministica seppure caotica (caos deterministico).
A parità di condizioni iniziali, un sistema caotico manifesta sempre lo stesso comportamento. Pertanto, le sue risposte non sono casuali.
La differenza tra caos e caso. In fisica con il termine caos si intende la dipendenza dalle condizioni iniziali. Non si intende caso, disordine o casualità. Quindi, la casualità e il caos sono concetti diversi.
La sensibilità ai valori iniziali
Un sistema caotico è fortemente dipendente ai valori iniziali.
Vuol dire che il sistema evolve in modo diverso dopo una piccola variazione alle condizioni inziali.
Esempio
Questa serie ha un andamento caotico
$$ y_n+1 = 3.7 \cdot y_n ( 1-y_n ) $$
Al variare del valore iniziale manifesta un comportamento asintotico differente.
Ecco l'evoluzione delle orbite con due valori iniziali diversi y0=0.77 e y0=0.5
Mescolamento topologico
Il mescolamento topologico (topological mixing) è l'altra condizione dei sistemi caotici. Vuol dire che il sistema evolve nel tempo tracciando orbite che si sovrappongono fra loro.
Un sistema dipendente dalle condizioni iniziali non è detto che sia un sistema caotico se non è presente anche la condizione di miscelazione topologica.
Esempio
La funzione che raddoppia il valore della yn a partire da un valore iniziale y0 è sensibile alle condizioni iniziali
$$ y_n+1 = 2 \cdot y_n $$
Tuttavia, non è un sistema caotico perché evolve in modo deterministico.
Il comportamento asintotico del sistema è sempre prevedibile.
- Se y0>0 il sistema tende a infinito.
- Se y0<0 il sistema tende a meno infinito.
- Se y0=0 il sistema tende a zero.
Esempio 2
La seguente funzione è invece caotica perché, oltre a essere sensibile al valore iniziale (y0), genera orbite che si sovrappongono tra loro nel tempo con valori simili o vicini.
$$ y_n+1 = 3.7 \cdot y_n ( 1-y_n ) $$
Ecco l'evoluzione delle orbite con due valori iniziali diversi y0=0.77 e y0=0.5
Nel suo comportamento asintotico le orbite si sovrappongono e occupano tutti i valori dello spazio.
E così via.
