Analisi armonica dei sistemi

L'analisi armonica si basa sul dominio della frequenza.

Si effettua quando il sistema lineare è eccitato da un segnale di ingresso armonico (sinusoidale)

In questi casi anche la funzione di risposta del sistema è di tipo armonico.

Nota. L'analisi armonica si distingue dall'analisi del dominio in cui i sistemi sono caratterizzati da equazioni differenziali lineari e sono sollecitati da segnali di ingresso a gradino o a rampa. Nel caso dell'analisi armonica il segnale di ingresso è sinusoidale. La rappresentazione armonica ha il vantaggio d'essere più vicina alla realtà dei fenomeni fisici e, pertanto, più facilmente sperimentabile.

La funzione di risposta armonica

A un un sistema lineare stazionario e asintoticamente stabile applico un segnale di ingresso armonico.

$$ x(t) = X \cdot \sin wt $$

Dove w è la pulsazione (frequenza).

Quando il sistema entra in regime stazionario periodico, dopo la fase iniziale transitoria, l'uscita del sistema è

$$ y(t)= Y(w) \cdot \sin(wt+φ(w)) $$

Dove Y(w) è l'ampiezza, w è la pulsazione (frequenza) e φ(w) è la fase del segnale in uscita.

Pertanto, anche l'uscita varia in forma sinusoidale.

Nota. Un sistema lineare stazionario in regime sinusoidale con funzione di trasferimento razionale fratta con poli reali negativi, se soggetta a eccitazione sinusoidale restituisce una risposta sinusoidale di pari frequenza.

La funzione di risposta armonica è la funzione

$$ F(w)=\frac{Y(s)}{X}e^{jφ(w)} $$

che può essere riscritta in forma equivalente

$$ F(w)=\frac{Y(s)}{X} \cdot(\cos φ(w) + j \cdot \sin φ(w) ) $$

Questa funzione descrive il comportamento del sistema in regime periodico.

E' indipendente da X ed è definita da una frequenza w nel dominio 0≤w<∞.

E così via.