Stabilità nei sistemi lineari
La stabilità di un sistema lineare non dipende dall'entità della perturbazione, piccola o grande, né dal punto di equilibrio.
Questa caratteristica dei sistemi lineari è dovuta alla proprietà di sovrapposizione degli effetti di un sistema e dalla linearità.
- Sovrapposizione degli effetti
In condizioni di quiete due perturbazioni identiche in punti diversi di equilibrio producono le stesse risposte, se non lo fossero ci sarebbe una risposta in assenza di perturbazione. Il che è impossibile. - Linearità
Una perturbazione moltiplicata per una costante k produce una risposta moltiplicata per la stessa costante k. E' una delle condizioni della linearità dei sistemi. Pertanto, al variare dell'entità della perturbazione il tipo di risposta (o comportamento) del sistema è sempre lo stesso.
In base a queste due caratteristiche si può affermare che il comportamento del sistema lineare (stabile o instabile) è sempre lo stesso per qualunque perturbazione e oer qualsiasi stato di equilibrio.
Quindi, se il sistema lineare è stabile (o instabile), lo è per qualsiasi punto di equilibrio ed entità di perturbazione.
Il comportamento del sistema lineare
Dopo una perturbazione in ingresso x(t), il comportamento del sistema lineare può essere
- Stabile. Il sistema converge a un nuovo equilibrio dopo una perturbazione. La risposta y(t) tende a k.
- Strettamente stabile. Il sistema converge allo stato di quiete (asintoticamente stabile) dopo una perturbazione. La risposta y(t) tende a zero.
- Instabile. Il sistema diverge dopo una perturbazione. La risposta y(t) tende a infinito.
Nota. In un sistema lineare con funzione di trasferimento razionale fratta (sistemi lineari stazionari) la stabilità del sistema dipende dalla posizione dei poli.
E così via.
