Variabile di stato del sistema
Cosa sono le variabili di stato
In un sistema dinamico le variabili di stato modificano la relazione ingresso-uscita del sistema.
Le variabili di stato e gli ingressi x in un istante t determinano l'uscita y del sistema ossia il suo comportamento e la sua evoluzione futura.
In un certo senso, le variabili di stato sono la memoria del sistema poiché dipendono dalla sua evoluzione passata.
Cos'è un sistema dinamico? Un sistema dinamico è un sistema in cui i parametri evolvono nel tempo. Si distingue dal sistema stazionario in cui i parametri sono costanti nel tempo.
Un esempio pratico
Ho un serbatoio d'acqua con la portata q(t) in entrata in un minuto.
Il serbatoio non ha uscite, è una vasca chiusa.
Quindi, l'entrata del sistema è la portata q(t).
L'uscita del sistema è l'altezza h(t) ossia il livello d'acqua nel serbatoio.
Potrei pensare che h(t) dipenda solo da q(t).
$$ h(t)=q(t) $$
In realtà non è così perché il livello dell'acqua in un istante t dipende sia dalla portata dell'acqua q(t) e sia dal livello dell'acqua già presente nel serbatoio nell'istante precedente h(t-1).
$$ h(t)=q(t)+h(t-1) $$
Pertanto, a parità di ingresso q(t) il risultato finale è diverso a seconda di h(t-1).
Nota. In realtà anche quest'ultima formula non è generale perché non funziona quando la vasca è già piena.
Ad esempio, l'ingresso q(t) è un secchio contenente 10 litri d'acqua e il serbatoio/vasca ha una capienza massima di 50 litri.
- Se il serbatoio è vuoto h(t-1)=0 il livello sale a h(t)=0+10=10
- Se il serbatoio è per metà pieno h(t-1)=25 il livello sale a h(t)=25+10=35.
- Se il serbatoio è pieno h(t-1)=50 l'acqua fuoriesce dal serbatoio e il livello dell'acqua nel serbatoio non cambia h(t)=50.
Quindi, a parità di ingresso q(t) il comportamento del sistema (uscita) è completamente diverso.
Nota. Soltanto nel primo caso vale la relazione h(t)=q(t) e soltanto nel secondo caso vale la relazione h(t)=q(t)+h(t-1). Nel terzo caso l'acqua fuoriesce dalla vasca e h(t)=h(t-1).
La quantità d'acqua nel serbatoio è la variabile di stato del sistema.
E così via.
