La banda passante
La banda passante (o larghezza di banda) di una funzione di trasferimento G(s) è la pulsazione in cui la funzione di risposta armonica è inferiore a 3dB rispetto al valore stativo G0(s).
Prendo in considerazione un sistema a retroazione negativa
La funzione di trasferimento del sistema è
$$ \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $$
Pertanto, l'uscita del sistema è
$$ Y(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} X(s) $$
Il rapporto è detto guadagno con retroazione W(s).$$ W(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $$
Questo sistema ha la capacità di autoregolarsi perché, quando il guadagno non è alto, il guadagno W(s) è sicuramente inferiore di G(s) perché divido G(s) per un denominatore maggiore di 1 ossia 1+G(s)H(s).
Se l'uscita Y(s) diventa troppo alta, la retroazione riduce il segnale di ingresso.
Esempio. Se una macchina sta accelerando troppo, la retroazione riduce automaticamente l'accelerazione.
Tuttavia, ci sono casi particolari in cui il comportamento del sistema cambia radicalmente.
Per ipotesi il trasduttore ha valore reale costante e positivo H>0.
$$ W(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H} $$
Semplifico dividendo entrambi i membri per G(s)
$$ W(s) = \frac{1}{\frac{1}{G(s)}+H} $$
Poi sostituisco s con le pulsazioni jω
$$ W(jω) = \frac{1}{\frac{1}{G(jω)}+H} $$
Quando il guadagno H·G(jω) è molto più grande del guadagno unitario, la funzione W(jω) tende a 1/H.
$$ H \cdot |G(jω)|>>1 \:\: \Rightarrow \:\: W(jω) = \frac{1}{H} $$
Viceversa, quando il guadagno H·G(jω) è più basso del guadagno unitario, la funzione W(jω) tende a G(jω).
$$ H \cdot |G(jω)|<<1 \:\: \Rightarrow \:\: W(jω) = G(jω) $$
In quest'ultimo caso la funzione W(jω) è pressocché costante alle variazioni delle pulsazioni ω.
La banda passante sono le pulsazioni in cui la risposta del sistema è inferiore di -3dB rispetto alla funzione di trasferimento G(s) sul ramo diretto.
Nota. A parità di circostanze, il sistema a retroazione ha banda passante più ampia rispetto a un sistema aperto a catena diretta.
E così via.
