Sistemi stabili e instabili
Per analizzare la stabilità di un sistema utilizzo lo schema del sistema a una sola variabile in entrata x(t) e una sola risposta in uscita y(t).
Presumo ci sia un istante iniziale t0, prima del quale il sistema è sicuramente in stato di quiete o di equilibrio perché le variabili in entrata e uscita sono nulle.
Nell'istante t0 si verifica una perturbazione che modifica il valore della variabile di ingresso x(t).
Ad esempio, un impulso di durata limitata che si esaurisce nell'istante t0+T.
Il sistema reagisce alla variazione dell'input con un cambiamento di stato.
La risposta y(t) del sistema può essere
- una risposta limitata
il sistema converge a un nuovo equilibrio (stato) subito dopo la perturbazione
Nota. In questo caso la risposta è sempre limitata ossia esiste un valore M tale che $$ |y(y)| \le M \:\:\: \forall t>t_0 $$
- una risposta convergente asintoticamente a zero
quando cessa la perturbazione il sistema torna nel tempo allo stato zero di quiete.
Nota. In questo caso il limite della risposta y(t) è uguale a zero per t→∞. $$ \lim_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 $$
- una risposta divergente
la risposta del sistema diverge anche se la perturbazione si esaurisce.
Nel primo e secondo caso si parla di sistema stabile perché risposta y(t) raggiunge una condizione di equilibrio dopo una perturbazione.
Nota. A volte il secondo caso è detto asintoticamente stabile o strettamente stabile per distinguerlo dal primo caso.
Nel terzo caso si parla di sistema instabile perché risposta y(t) a una perturbazione x(t) tende a crescere nel tempo.
Questo si può dire in generale per tutti i sistemi.
Ci sono però delle differenze tra i sistemi lineari e quelli non lineari.
- Sistema lineare
In un sistema lineare la risposta del sistema y(t) a una perturbazione X è la stessa per qualsiasi entità della perturbazione e punto di equilibrio. - Sistema non lineare
In un sistema non lineare, invece, la risposta del sistema y(t) a una perturbazione varia a seconda dell'entità della perturbazione e del punto di equilibrio.
E così via.
