Angolo orientato

Cos'è un angolo orientato

Un angolo orientato è un angolo tra due lati associato a un senso di rotazione.

Il lato iniziale è detto lato origine.

Il segno positivo o negativo di un angolo orientato dipende dal movmento del segmento OA e dal senso di rotazione adottato come sistema di riferimento

  • Se adotto il verso di rotazione antiorario come riferimento, l'angolo orientato è positivo quando ruota in senso antiorario e negativo quando ruota in senso orario.
    il sistema di riferimento antiorario

    Nota. In questo caso la rotazione del segmento da OA a OA' è concorde con il senso di rotazione di riferimento. Quindi l'angolo è positivo. Viceversa, la rotazione del segmento da OA a OA" non è concorde e l'angolo è negativo.

  • Se adotto il verso di rotazione orario come riferimento, l'angolo orientato è positivo quando ruota in senso orario e negativo quando ruota in senso antiorario.
    la rotazione del segmento con un sistema di riferimento diverso

    Nota. In questo caso la rotazione del segmento da OA a OA" è concorde con il senso di rotazione di riferimento. Quindi l'angolo è positivo. Viceversa, la rotazione del segmento da OA a OA' non è concorde e l'angolo è negativo.

Cosa accade se manca il senso di rotazione di riferimento?

Se non è specificato un verso di rotazione come sistema di riferimento, in fisica e matematica si adotta per convenzione il senso di rotazione antiorario.

Quindi, l'angolo orientato è positivo se il segmento ruota in senso antiorario.

A cosa servono gli angoli orientati?

In molti casi l'ampiezza di un angolo non mi fornisce tutte le informazioni di cui ho bisogno.

Ad esempio, devo girare il timone di 30°. Ma in quale direzione? Verso destra o verso sinistra?

un esempio pratico

Per saperlo devo prima fissare un verso di rotazione come sistema di riferimento.

Adotto il verso di rotazione antiorario.

adotto un senso di rotazione come sistema di riferimento

In questo modo posso capire il verso di rotazione.

Essendo 30° un numero positivo, vuol dire che la direzione è concorde al verso di rotazione.

Quindi, giro il timone in senso antiorario ossia verso sinistra.

l'angolo orientato mi dice come girare il timone

Se l'angolo orientato fosse stato pari a -30° avrei dovuto girare il timone verso destra, perché non concorde con il senso di rotazione di riferimento.

un esempio di angolo orientato negativo

Le caratteristiche degli angoli orientati

Gli angoli orientati si distinguono per due caratteristiche

  • Gli angoli orientati possono avere un'ampiezza anche negativa
    Un angolo è negativo quando non è concorde con il senso di rotazione adottato come riferimento. Ad esempio un angolo di -20°.
    esempio di angolo orientato negativo
  • Gli angoli orientati possono anche essere superiori all'angolo giro 360° (2π rad)
    Ad esempio, un angolo orientato di 730° vuol dire che devo compiere due giri completi nel senso di rotazione adottato come riferimento e aggiungere altri 10° gradi.
    un esempio di angolo orientato superiore all'angolo giro
    Dal punto di vista algebrico $$ 730° = 360° \cdot 2 + 10° $$ $$ 730° = 720° + 10° $$

La notazione sintetica degli angoli orientati

Un angolo orientato superiore a 360° può essere scritto in forma sintetica come somma di un angolo minore di 360° e un angolo giro moltiplicato per uno scalare k. $$ \alpha° + 360° \cdot k $$ Se l'angolo è in radianti si utilizza 2 pi greco.$$ \alpha + 2 \pi \cdot k $$ In entrambi i casi k è un numero intero.

Se k non è specificato, la notazione considera tutti gli angoli orientati che differiscono di un multiplo k dell'angolo giro.

Dove k è un numero intero positivo o negativo.

Esempio 1

L'angolo orientato di 730° può essere scritto in questo modo

$$ 730° = 360° \cdot 2 + 10° $$

Dove k=2

Esempio 2

Se non specifico lo scalare k

$$ \frac{ \pi }{ 2 } + k \cdot 2 \pi $$

la notazione indica tutti gli angoli di 90° (ossia π/2 ) multipli di un angolo giro (2π)

$$ \frac{ \pi }{ 2 } + k \cdot 2 \pi = \{ \frac{ \pi }{ 2 } \ , \ \frac{ \pi }{ 2 } \pm 2 \pi \ , \ \frac{ \pi }{ 2 } \pm 4 \pi \ , \ ... \} $$

Ecco dal punto di vista grafico π/2 (blu) e π/2+2π (rosso).

Nel primo caso k = 0 mentre nel secondo k = 1.

esempio

E così via.

 


 

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